L'étude de la convexité d'une fonction permet d'apporter des précisions sur la position de sa courbe par rapport aux sécantes ou aux tangentes.
I Convexité d'une fonction
1 Fonction convexe
Définition : Une fonction f est convexe sur un intervalle I si sa courbe représentative f est située en dessous de chacune des cordes [AB], A et B étant des points quelconques de f d'abscisses respectives a et b dans I.
Définitions équivalentes : Soient f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et f sa courbe représentative.
f est convexe sur I si et seulement si f est au-dessus de toutes ses tangentes.
f est convexe sur I si et seulement si f ′ est croissante sur I.
Exemples : • La fonction carré x ↦ x2 est convexe sur ℝ.
La fonction inverse est convexe sur ]0 ; + ∞[.
2 Fonction concave
Définition : Une fonction f est concave sur un intervalle I si −f est convexe sur I.
À noter
Attention, si f n'est pas convexe sur I, ça ne signifie pas nécessairement que f est concave sur I.
Exemples : • La fonction racine carrée x ↦ est concave sur ]0 ; + ∞[.
La fonction inverse est concave sur ]− ∞ ; 0[.
II Points d'inflexion
Définition : Soient f une fonction définie sur un intervalle I et f sa courbe représentative. On appelle point d'inflexion de f tout point de f en lequel f change de convexité (passe de convexe à concave ou inversement).
Méthode
Étudier graphiquement la convexité d'une fonction 
Soit f une fonction deux fois dérivable sur ℝ dont on donne la courbe représentative. La droite est tangente à la courbe f au point d'abscisse 0.
conseils
Utilisez la définition de la convexité donnant la position de la courbe par rapport à ses tangentes.
solution
Sur ]0 ; +∞[, les tangentes semblent être en dessous de la courbe, f serait donc convexe sur . L'origine serait un point d'inflexion.