Coordonnées d'un point, d'un vecteur

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Classe(s) : 2de | Thème(s) : Manipuler les vecteurs du plan

Dans un plan, un point peut être positionné précisément par la donnée de ses coordonnées. De même, les vecteurs peuvent aussi être décrits par des coordonnées.

I Coordonnées dans un repère

1 Repère orthonormé du plan

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Un repère orthonormé du plan est un ensemble de trois points O, I, J tels que le triangle OIJ soit rectangle et isocèle en O. Le point O s’appelle l’origine du repère.

On peut ainsi définir les deux vecteurs, appelés vecteurs de base, i et jtels que OI=i et OJ=j.

2 Abscisse et ordonnée d’un point, d’un vecteur

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Considérons les points M, X (sur l’axe des abscisses) et Y (sur l’axe des ordonnées). Le quadrilatère OXMY est un rectangle.

Comme OX et i sont colinéaires, il existe un nombre x tel que OX=xi. On peut aussi écrire OY=yj.

On a alors :  OM=xi+yj.

x s’appelle l’abscisse du point M, et aussi l’abscisse du vecteur OM.

y s’appelle l’ordonnée du point M, et aussi l’ordonnée du vecteur OM.

x et y s’appellent les coordonnées du point M, et aussi du vecteur OM.

À noter

Dans un repère orthonormé, les coordonnées d’un point sont uniques, tout comme celles d’un vecteur.

On considère deux points A et B de coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB). Alors le vecteur AB a pour coordonnées (xB  xA ; yB  yA).

Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées.

II Somme de deux vecteurs

Si u et u ont pour coordonnées (x ; y) et (x ; y) alors :

• u+u a pour coordonnées (x + x ; y + y) donc :

u+u=(x+x)i+(y+y)j

• ku a pour coordonnées (kx ; ky) donc :

ku=(kx)i+(ky)j

Méthode

1 Lire les coordonnées d’un vecteur graphiquement

Dans un repère (O, I, J), on donne les points A(2 ; 5) et B(5 ; 1).

Lire graphiquement les coordonnées du vecteur AB sans utiliser de formule.

conseils

Partant de A, on se dirige vers B en effectuant un trajet horizontal puis vertical. On peut aussi faire l’inverse : suivre un trajet vertical puis horizontal.

solution

Sur la figure, on voit que AB=u+v avec u=3i et v=4j.

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On en déduit que AB=3i4j. Les coordonnées de AB sont donc (3 ; –4).

2 Déterminer les coordonnées d’un point sous contraintes.

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On donne les points A(4 ; 1), B(2 ; –3) et C(–1 ; –2). Trouver les coordonnées du point D pour que ABCD soit un parallélogramme.

conseils

Les coordonnées de D sont (x ; y) et se calculent sachant que BA+BC=BD.

solution

Les coordonnées des vecteurs BA et BC sont respectivement (421(3))=(24) et (122(3))=(31). Donc BA+BC a pour coordonnées (2+(3)4+1)=(15).

Le vecteur BD ayant pour coordonnées (x2y(3))=(x2y+3), BA+BC=BD est donc équivalent à x – 2 = –1 et y + 3 = 5. D’où x = 1 et y = 2.

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