Coordonnées du milieu d'un segment, distance

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Classe(s) : 2de | Thème(s) : Manipuler les vecteurs du plan

Il y a de nombreux moyens de calculer des distances en ­géométrie : théorèmes de Pythagore ou de Thalès, trigonométrie... C’est également possible en utilisant les coordonnées.

I Coordonnées du milieu d’un segment

On considère deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB). Les coordonnées xM et yM du milieu M du segment [AB] sont données par les formules :

04539_C10_22

xM=xA+xB2 et yM=yA+yB2

À noter

L’abscisse du milieu d’un segment est égale à la moyenne des abscisses des extrémités. Il en est de même pour l’ordonnée.

Exemple : Avec A(2 ; 1) et B(5 ; 3), le milieu M de [AB] a pour coordonnées (72 ; 2). En effet : xM=2+52=72 et yM=1+32=2.

II Distance de deux points

Dans un repère orthonormé, on considère deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB). La distance AB est donnée par la formule :

AB=(xBxA)2+(yByA)2

On peut avoir une idée de la démonstration de la formule dans le cas particulier de la figure ci-dessous.

04539_C10_23

On a AC = xC xA = xB – xA et BC = yB yC = yB – yA.

En appliquant le théorème de Pythagore au triangle ABC, on obtient :

AB2 = AC2 + BC2 = (xB xA)2 + (yB – yA)2.

D’où AB=(xBxA)2+(yByA)2.

Méthode

1 Calculer les coordonnées d’un point

Dans un repère, on donne les points A(1 ; 6), B(7 ; 2) et C(–1 ; –2).

Déterminer les coordonnées du point D pour que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.

04539_C10_24

conseils

Les diagonales du quadrilatère doivent avoir le même milieu.

solution

Soit x l’abscisse de D et y son ordonnée.

ABCD est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu.

Les coordonnées du milieu I de [AC] sont xI112=0 et yI622=2.

Exprimées à l’aide des coordonnées de B et de D, on a : xI7+x2 et yI2+y2.

Ainsi : 7+x2=0 donc x = –7 ; et 2+y2=2 donc 2 + y = 4, c’est-à-dire y = 2.

Les coordonnées du point D sont (–7 ; 2).

2 Démontrer l’alignement de points en calculant des distances

conseils

a. Utilisez la formule de la distance de deux points.

b. Si la plus grande des trois distances est égale à la somme des deux autres, alors les points sont alignés. (Inégalité triangulaire : si BC est le plus grand côté d’un triangle ABC, alors BC ⩽ BA + AC ; l’égalité a lieu si et seulement si le triangle est aplati.)

Dans un repère, on donne les points A(–1 ; 4), B(2 ; –5) et C(–3 ; 10).

a. Calculer les distances AB, BC et CA.

b. En déduire que les points A, B et C sont ­alignés.

solution

a. AB2=(2+1)2+(54)2=32+(9)2=90AB=90=310.

BC2=(32)2+(10+5)2=(5)2+152=250BC=250=510.

CA2=(3+1)2+(104)2=(2)2+62=40CA=40=210.

b. Puisque BA+AC=510=BC, les points A, B, C sont alignés.

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