Première générale Maths (spé) Fonctions trigonométriques

L'enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique permet de définir le cosinus et le sinus d'un nombre réel, en lien avec le cosinus et le sinus d'un angle géométrique.

I Définition et propriétés

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Soit x un nombre réel et M le point du cercle trigonométrique image de x.

M a pour coordonnées (cos x ; sin x).

–1 ⩽ cos x ⩽ 1 et –1 ⩽ sin x ⩽ 1.

cos2 x + sin2 x = 1

Les réels x et x + 2kπ ont pour image le même point de . Donc pour tout entier relatif k :

cos(x + 2kπ) = cos x et sin(x + 2kπ) = sin x

Les images des réels x et –x sont deux points de symétriques l'un de l'autre par rapport à l'axe des abscisses :

cos(–x) = cos x et sin(–x) = –sin x

II Lien avec le triangle rectangle

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Si ABC est un triangle rectangle en A et si x est la mesure en radians de l'angle $\hat{ABC}$ ( $x \in [0; \frac{π}{2}]$ ), alors :

$\cos x = \frac{BA}{BC} et \sin x = \frac{AC}{BC}$ et $\sin x = \frac{AC}{BC}$

III Valeurs remarquables

x	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	π
cos x	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0	–1
sin x	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1	0

Méthodes

1 Calculer cos x connaissant sin x et le signe de cos x, ou l'inverse

conseils

Utilisez l'égalité cos2 x + sin2 x = 1 et tenez compte du signe de cos x (a.) ou de celui de sin t (b.) donné dans l'énoncé.

a. Soit x un réel tel que sin x = 0,8 et cos x > 0. Calculer cos x.

b. Soit t un réel tel que $\cos t = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ et sin t 0. Calculer sin t.

solution

a. cos2 x + sin2 x = 1, donc cos2 x = 1 – sin2 x, soit cos2 x = 1 – 0,82 = 0,36. Or cos x > 0, donc $\cos x = \sqrt{0,36}$ , soit cos x = 0,6.

b. sin2 t = 1 – cos2 t, donc $\sin^{2} t = 1 - {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2}$ $= 1 - \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$ $= \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$ . Or sin t 0, donc $\sin t = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

2 Résoudre une équation ou une inéquation trigonométrique

a. Résoudre dans [–π ; π] l'équation $\cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

b. Résoudre dans [–π ; π] l'inéquation $\cos x \leq - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

conseils

a. Sur le cercle trigonométrique , repérer les points d'abscisse $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ et calculer x à l'aide des valeurs remarquables ou de la calculatrice.

b. De même, repérer les points d'abscisse inférieure ou égale à $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

solution

a. Il existe sur deux points distincts A et B d'abscisse $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Dans [–π ; π], ces points sont associés à $- \frac{5 π}{6}$ et $\frac{5 π}{6}$ , donc $\cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ a pour solutions $- \frac{5 π}{6}$ et $\frac{5 π}{6}$ .

b. Les réels x tels que $\cos x \leq - \frac{\sqrt{3}}{2}$ sont ceux dont l'image appartient à l'arc $\overset{⌢}{AB}$ du cercle .

C'est l'ensemble $[- π; - \frac{5 π}{6}] \cup [\frac{5 π}{6}; π]$ .

Cosinus et sinus d'un nombre réel

I Définition et propriétés

II Lien avec le triangle rectangle

III Valeurs remarquables

1 Calculer cos x connaissant sin x et le signe de cos x, ou l'inverse

2 Résoudre une équation ou une inéquation trigonométrique

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