Critère de colinéarité

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Classe(s) : 2de | Thème(s) : Manipuler les vecteurs du plan

La notion de vecteurs colinéaires permet de traduire en langage vectoriel la notion de parallélisme. On découvre à travers cette transposition de nouvelles façons d’utiliser les propriétés des droites parallèles.

I Colinéarité

1 Définition

Soit C05_New_Eqn072 et v deux vecteurs non nuls.

Dire que u est colinéaire à v signifie qu’il existe un réel k vérifiant l’égalité :

v=ku

On en déduit que si u est colinéaire à v, alors v est colinéaire à u puisque l’on peut écrire u=1kv. On dit aussi que les vecteurs u et v sont colinéaires.

Par extension, on dit que le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs du plan.

04539_C10_16

2 Conséquences

Dire que les vecteurs AB et CD sont colinéaires signifie que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

En effet, s’il existe un réel k tel que AB=kCD, alors AB et CD ont la même direction, ce qui signifie que (AB) et (CD) sont parallèles.

Dire que les vecteurs AB et AC sont colinéaires signifie que les points A, B et C sont alignés.

En effet, si AB et AC sont colinéaires, alors (AB) et (AC) sont parallèles. Comme ces droites ont un point en commun (le point A), elles sont confondues. Il en résulte que les points A, B, C sont alignés sur cette droite.

II Déterminant et colinéarité

Le déterminant de deux vecteurs u(x;y) et u(x;y) est le nombre :

det(C05_New_Eqn072 ; v) = xy xy

À noter

La démonstration figure dans la méthode.

Test de colinéarité. Les deux vecteurs u(x;y) et u(x;y) sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul : xy xy = 0.

Remarque : leur déterminant est donc différent de 0 si et seulement si ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.

Méthode

1 Démontrer le test de colinéarité utilisant le déterminant

À noter

1. Utiliser la définition de deux vecteurs colinéaires.

2. Étudier le cas où x = 0 et y= 0, puis le cas contraire, soit x ≠ 0 ou y ≠ 0.

1. On suppose que les deux vecteurs u(x;y) et u(x;y) sont colinéaires. Démontrer que leur déterminant est nul.

2. Réciproquement, on suppose que xy – xy = 0. Montrer que les deux vecteurs u(x;y) et u(x;y) sont colinéaires.

solution

1. Il existe un réel k tel que u=ku. Les coordonnées de ku étant (kx ; ky) on a x = kx et y = ky donc le déterminant vaut xy xy = kxy kxy = 0.

2. Réciproquement, supposons que xy xy = 0.

Si x = y = 0 alors u=0 et le vecteur nul étant colinéaire à tout vecteur, u et u sont colinéaires.

Sinon l’un des deux nombres x ou y est différent de 0. Supposons par exemple que l’on ait x ≠ 0. Alors xyxy=0xy=xyy=xyx. Donc :

u=xi+xyxj=x(i+yxj)=xx(xi+yj)=xxu.

Cela prouve que u et u sont colinéaires.

05294_C05_05

2 Utiliser la colinéarité de deux vecteurs

On considère les points A(–1 ; –5), B(–4 ; 4), C(1 ; –2) et D(–1 ; 4). Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?

conseils

La question revient à savoir si les vecteurs AB et CD sont colinéaires.

solution

AB = (4(1)4(5))=(39) et CD = (114(2))=(26).

On calcule le déterminant : (–3) × 6 – (–2) × 9 = –18 – (–18) = 0.

Par conséquent les vecteurs AB et CD sont colinéaires et donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Remarque : Si u a pour coordonnées (-1 ; 3) alors AB=3u et CD=2u.

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