Fiche de révision

Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers

Contenu

En bref Tout entier peut s'écrire sous la forme d'un produit de facteurs premiers.

IQu'est-­ce qu'un nombre premier ?

Un nombre premier est un entier positif qui admet exactement deux diviseurs.

Exemples : 2 n'est divisible que par 1 et 2. Donc 2 est un nombre premier.

4 est divisible par 1, 2 et 4. Donc 4 n'est pas un nombre premier.

Voici la liste des nombres premiers inférieurs à 50 dans l'ordre croissant :

Tableau de 2 lignes, 8 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; Ligne 2 : 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; ;

À noter

L'entier 1 n'est divisible que par 1. Donc 1 n'est pas un nombre premier.

IIDécomposer un nombre en produit de facteurs premiers

Tout entier peut s'écrire sous la forme d'un produit où tous les facteurs sont des nombres premiers. On appelle cette écriture la décomposition en produit de facteurs premiers de cet entier.

Mots clés

Le produit est le résultat d'une multiplication. Les nombres qui la composent sont les facteurs.

Exemple : Pour trouver la décomposition en produit de facteurs premiers de 60, on cherche s'il est divisible par chacun des nombres premiers en les prenant dans l'ordre croissant.

60 est un nombre pair, donc il est divisible par 2.

On a 60 = 2 × 30.

30 est un nombre pair, donc il est divisible par 2.

On a 30 = 2 × 15 et 60 = 2 × (2 × 15) = 2 × 2 × 15.

15 n'est pas divisible par 2, il est divisible par 3.

On a 15 = 3 × 5 et 60 = 2 × 2 × (3 × 5).

5 est un nombre premier.

La décomposition en produit de facteurs premiers de 60 est : 2 × 2 × 3 × 5.

Méthodes

1 Reconnaître un nombre premier

Pour chaque nombre, indiquer s'il est premier ou non.

1 12

2 27

3 29

Conseils

Cherche dans la liste les nombres pairs et explique pourquoi ils ne sont pas premiers. Pour les nombres impairs, cherche s'ils sont divisibles par 3, 5 ou 7.

Solution

1 12 est divisible par 2, donc 12 n'est pas premier.

2 La somme des chiffres de 27 est égale à 9. Donc 27 est divisible par 3. Il n'est pas premier.

3 Le chiffre des unités de 29 est 9, donc 29 n'est pas divisible par 2 et 5.

La somme de ses chiffres est 11, donc 29 n'est pas divisible par 3. Il n'est pas divisible par 7. 29 n'est divisible que par 1 et par 29. Donc 29 est premier.

2 Donner la décomposition en facteurs premiers d'un entier

Donner la décomposition en produit de facteurs premiers des nombres suivants :

1 8

2 15

3 18

Conseils

Pour trouver la décomposition en produit de facteurs premiers d'un nombre, par exemple 8, cherche s'il est divisible par un nombre premier, en les testant dans l'ordre croissant. 8 est un nombre pair, il est donc divisible par 2. Observe alors que 8 = 2 × 4. Puis recommence avec le quotient. Écris 4 sous la forme d'un produit de deux nombres premiers.

Solution

1 8 est divisible par 2 et 8 = 2 × 4. 4 est divisible par 2.

On a 8 = 2 × 2 × 2. C'est la décomposition de 8 en produit de facteurs premiers.

2 15 est divisible par 3. On a 15 = 3 × 5. 3 et 5 sont des nombres premiers, 3 × 5 est la décomposition de 15 en produit de facteurs premiers.

3 18 est divisible par 2 et 18 = 2 × 9. 9 est divisible par 3.

On a 9 = 3 × 3 et 18 = 2 × 3 × 3.

Donc 2 × 3 × 3 est la décomposition de 18 en produit de facteurs premiers.

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