Découvrir certains ensembles de nombres

Merci !

Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Expressions algébriques. Résolution d'équations et d'inéquations - Ensembles de nombres. Calculs numériques dans R


Rappels de cours

1 Ensembles des nombres entiers, des nombres réels

 Les nombres entiers qui servent à « compter » des collections d’objets constituent l’ensemble des entiers naturels noté  :

={0;1;2;3;}.

 L’ensemble de tous les nombres connus en classe de seconde constitue l’ensemble des nombres réels et il est noté .

exemple 2;3,4;23;5;π sont des nombres réels.

 Les ensembles et privés du nombre 0 sont désignés respectivement par * et * ou {0} et {0}.

2 Notions d’intervalles

Soient deux nombres réels a et b avec a<b. Les ensembles de nombres réels dont les éléments x vérifient les inégalités ci-dessous sont appelés des intervalles.

Ensemble

Dénomination

Notation

axb

intervalle fermé a, b

[a ; b]

a<xb

intervalle ouvert en a, fermé en b

]a ; b]

ax<b

intervalle fermé en a, ouvert en b

[a ; b[

a<x<b

intervalle ouvert a, b

]a ; b[

xa

intervalle fermé moins l’infini, a

]  ; a]

x<a

intervalle ouvert moins l’infini, a

]  ; a[

bx

intervalle fermé b, plus l’infini

[b ; +[

b<x

intervalle ouvert b, plus l’infini

]b ; +[

Remarques : et + ne sont pas des nombres, ce sont des symboles. Les éléments situés entre les crochets sont les bornes de l’intervalle. L’ensemble des nombres réels est ];+[.

exemple L’ensemble des nombres réels x tels que x2,016 est l’intervalle ];2,016].

Méthodes

Résoudre une inéquation

Résoudre dans l’inéquation 8x2x+5.

Conseils

Dans une inégalité, si l’on multiplie ou l’on divise les deux membres par un même nombre négatif, on obtient une inégalité de sens contraire.

 

Solution

8x2x+58x2x2x+52xon retranche 2x aux deux membres10x510x10510on divise les deux membres par 10x0,5.

L’ensemble des solutions de l’inéquation est [0,5;+[.

à noter !

• I et J étant deux intervalles de , leur réunion, notée IJ, est l’ensemble des réels qui sont dans I ou dans J.

• L’intersection de I et J, notée IJ, est l’ensemble des réels qui sont dans I et dans J.

Déterminer la réunion de deux intervalles

On donne les intervalles I=[2;4], J=]2;7] et K=[5 ; +[. Déterminer IJ, puis IK.

Conseils

Dessinez sur une même droite graduée les intervalles proposés.

 

Solution

Tous les réels depuis – 2 inclus jusque 7 inclus sont en couleur au moins une fois (ou rouge, ou bleu ou les deux) donc IJ=[2;7].

02909_F02_01

IK=[2;4][5;+[ (l’écriture ne se simplifie pas dans ce dernier cas).