Découvrir la loi binomiale

Merci !

Fiches
Classe(s) : 1re S | Thème(s) : Probabilités et échantillonnage
Corpus Corpus 1
Découvrir la loi binomiale

FB_Bac_99063_Mat1_S_042

42

95

3

Rappels de cours

désigne un entier naturel et un réel appartenant à [0?;?1].

1 Schéma de Bernoulli

? Une épreuve de Bernoulli de paramètre est une expérience aléatoire à deux issues?: une issue appelée «?Succès?» de probabilité et une autre issue appelée «?Échec?» de probabilité

exemples

  • L’expérience qui consiste à lancer une pièce de monnaie équilibrée et à observer si la face supérieure indique «?Face?» est une épreuve de Bernoulli. Le succès est «?la face supérieure indique «?Face?»?» et le paramètre est 0,5.
  • L’expérience qui consiste à choisir une personne au hasard en France et à observer si cette dernière est gauchère est une épreuve de Bernoulli. Le succès est «?la préférence manuelle de la personne est gauche?» et le paramètre est 0,12 (proportion des gauchers en France).

? Un schéma de Bernoulli de paramètres et est une expérience qui consiste à répéter épreuves de Bernoulli de paramètre identiques et indépendantes.

2 Loi binomiale

? Soit la variable aléatoire qui, à un schéma de Bernoulli de paramètres et associe le nombre de succès. La loi de probabilité suivie par la variable aléatoire est appelée loi binomiale de paramètres et Elle est notée

? Pour tout entier la probabilité que prenne la valeur est?:

se lit «? parmi ?» et est appelé coefficient binomial (>?Fiche?43).

?      

Méthode

Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi binomiale

Lors d’une interrogation écrite présentée sous la forme d’un questionnaire à choix multiples (Q.C.M.), Grégoire a répondu au hasard aux 20 questions posées. Pour chacune d’entre elles, une seule réponse est exacte parmi les trois proposées. Nous considérons la variable aléatoire qui, à toute copie possible rendue par Grégoire, associe le nombre de réponses exactes.

1.?Justifier que suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

2.?Calculer la probabilité que Grégoire ait?exactement 10?réponses exactes, puis la probabilité qu’il ait au plus 8 réponses exactes.

Conseils

2.?Traduisez l’énoncé à l’aide de la variable aléatoire .

Solution

1.?Pour chaque question, Grégoire choisit au hasard sa réponse qui sera soit exacte («?Succès?») soit inexacte («?Échec?»). Comme trois réponses sont proposées et une seule est exacte, la probabilité que sa réponse à une question soit exacte est Comme il procède de la même manière (identique et indépendante) pour toutes les questions, nous sommes dans le cadre d’un schéma de Bernoulli de paramètres et Donc suit la loi binomiale

2.?La probabilité que Grégoire ait exactement 10?réponses exactes est et la probabilité que Grégoire ait au plus 8?réponses exactes est À l’aide de la calculatrice, nous avons?:

 

CASIO Graph 75

TI 83 Plus.fr

 

Comme la probabilité que Grégoire ait exactement 10?réponses exactes est d’environ 0,054.

Comme la probabilité que Grégoire ait au plus 8?réponses exactes est d’environ 0,809.

>>