Découvrir la notion de loi à densité

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Fiches
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Notion de loi à densité
Corpus Corpus 1
D&eacute couvrir la notion de loi &agrave densit&eacute

FB_Bac_98616_MatT_LES_038

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Rappels de cours

1Loi &agrave densite (ou loi continue)

&thinsp On appelle densit&eacute de probabilit&eacute sur un intervalle toute fonction , continue, positive sur et telle que .

&thinsp Soit une densit&eacute de probabilit&eacute sur .

On d&eacute finit une loi de probabilit&eacute P de densit&eacute f sur en associant &agrave tout intervalle inclus dans le r&eacute el  :

2Loi uniforme

&thinsp La loi uniforme sur a pour densit&eacute la fonction constante sur .

&thinsp La probabilit&eacute d&rsquo un intervalle inclus dans est le quotient de la longueur de l&rsquo intervalle par celle de l&rsquo intervalle   :

&thinsp L&rsquo esp&eacute rance d&rsquo une variable al&eacute atoire suivant une loi uniforme sur est .

M&eacute thodes

V&eacute rifier qu&rsquo une fonction est une densit&eacute de probabilit&eacute

V&eacute rifier que la fonction f d&eacute finie sur par est une densit&eacute de probabilit&eacute .

Conseils

Pour v&eacute rifier qu&rsquo une fonction est une densit&eacute de probabilit&eacute , il suffit de v&eacute rifier une par une les trois conditions sur l&rsquo intervalle consid&eacute r&eacute   : continuit&eacute , fonction positive et int&eacute grale &eacute gale &agrave 1.

Solution

La fonction est continue et positive sur .

Son int&eacute grale sur cet intervalle est  :

.

La fonction f est donc une densit&eacute de probabilit&eacute sur .

Utiliser la loi uniforme

Soit une variable al&eacute atoire qui suit une loi uniforme sur .

Calculer la probabilit&eacute que prenne des valeurs entre 3 et 5.

Conseils

Cela revient &agrave calculer le rapport des longueurs des intervalles et .

Solution

.

Retrouver l&rsquo esp&eacute rance dans le cas d&rsquo une loi uniforme

Montrer que l&rsquo esp&eacute rance d&rsquo une variable al&eacute atoire qui suit une loi uniforme sur est .

Conseils

On admet que l&rsquo esp&eacute rance d&rsquo une variable al&eacute atoire qui suit une loi de densit&eacute sur est donn&eacute e par et on utilise .

Solution

La valeur trouv&eacute e est le centre de l&rsquo intervalle.

Par exemple, l&rsquo esp&eacute rance d&rsquo une variable al&eacute atoire qui suit une loi uniforme sur est 5.

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