Découvrir la notion de loi à densité

Merci !

Fiches
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Notion de loi à densité
Corpus Corpus 1
Découvrir la notion de loi à densité

FB_Bac_98616_MatT_LES_038

38

85

5

Rappels de cours

1Loi à densite (ou loi continue)

 On appelle densité de probabilité sur un intervalle toute fonction , continue, positive sur et telle que .

 Soit une densité de probabilité sur .

On définit une loi de probabilitéP de densitéf sur en associant à tout intervalle inclus dans le réel :

2Loi uniforme

 La loi uniforme sur a pour densité la fonction constante sur .

 La probabilité d’un intervalle inclus dans est le quotient de la longueur de l’intervalle par celle de l’intervalle  :

 L’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur est .

Méthodes

Vérifier qu’une fonction est une densité de probabilité

Vérifier que la fonction f définie sur par est une densité de probabilité.

Conseils

Pour vérifier qu’une fonction est une densité de probabilité, il suffit de vérifier une par une les trois conditions sur l’intervalle considéré : continuité, fonction positive et intégrale égale à 1.

Solution

La fonction est continue et positive sur .

Son intégrale sur cet intervalle est :

.

La fonction f est donc une densité de probabilité sur .

Utiliser la loi uniforme

Soit une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur .

Calculer la probabilité que prenne des valeurs entre 3 et 5.

Conseils

Cela revient à calculer le rapport des longueurs des intervalles et .

Solution

.

Retrouver l’espérance dans le cas d’une loi uniforme

Montrer que l’espérance d’une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur est .

Conseils

On admet que l’espérance d’une variable aléatoire qui suit une loi de densité sur est donnée par et on utilise .

Solution

La valeur trouvée est le centre de l’intervalle.

Par exemple, l’espérance d’une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur est 5.

>>