Découvrir la notion de vecteur

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Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Coordonnées d'un point du plan. Vecteurs


Rappels de cours

1 Translation et vecteur

 Soient A et B deux points du plan. La translation qui transforme A en B est la transformation qui, à tout point C du plan associe l’unique point D tel que les segments [AD] et [BC] aient même milieu.

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 Cette translation est appelée translation de vecteur AB et le point D est appelé l’image du point C par cette translation.

Remarques :

Dans le cas où les points A et B sont distincts, le vecteur AB est représenté par une flèche d’origine A et d’extrémité B.

La translation qui transforme B en A est la translation de vecteur BA. Ce vecteur noté aussi AB est le vecteur opposé au vecteur AB.

Dans le cas où les points A et B sont confondus, le vecteur AB ou AA ou encore BB est appelé vecteur nul et est noté 0. La translation associée à ce vecteur transforme tout point du plan en lui-même.

2 Égalité de vecteurs

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Soient A, B, C et D quatre points du plan.

Les vecteurs AB et CD sont égaux si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Dans ce cas, nous notons : AB=CD.

À noter ! AI=IB si et seulement si I est le milieu du segment [AB].

Méthodes

Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme

Soient MNOP et OPQR deux parallélogrammes. Démontrer que le quadrilatère MNRQ est un parallélogramme.

Conseils

Démontrez que les vecteurs MN et QR sont égaux.

Solution

À noter ! Si ABDC est un parallélogramme, alors AB=CD.

Comme MNOP est un parallélogramme, les vecteurs MN et PO sont égaux. De même, comme OPQR est un parallélogramme, les vecteurs PO et QR sont égaux.

À noter ! Si AB=CD, alors ABDC est un parallélogramme.

D’après le premier point, MN=PO et PO=QR. Il en découle alors que MN=QR. Les vecteurs MN et QR étant égaux, le quadrilatère MNRQ est un parallélogramme.

Démontrer qu’un quadrilatère est un losange

Soient EGO un triangle rectangle en O, et H et F les images respectives des points E et G par la symétrie de centre O. Démontrer que le quadrilatère HFEG est un losange.

Conseils

Utilisez la propriété suivante : « Si une symétrie centrale transforme A en A et B en B, alors A′ B′ =AB. »

Solution

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La symétrie centrale de centre O transforme E en H et G en F. On a alors l’égalité vectorielle suivante : HF=EG. Le vecteur EG est le vecteur opposé au vecteur EG ; il se note aussi GE. Ainsi, HF=GE. Les vecteurs HF et GE étant égaux, le quadrilatère HFEG est un parallélogramme.

Puisque ses diagonales [EH] et [FG] sont perpendiculaires en O, HFEG est un losange.