Découvrir la sphère

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Fiches
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Représenter l'espace


Rappels de cours

1 Section d’une sphère par un plan

Soit une sphère de centre O et de rayon R et soit un plan 𝒫.

Notons h la distance entre le point O et le plan 𝒫. Alors h = OH.

Si h > R, alors le plan ne coupe pas la sphère.

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Si h = R, alors le plan est tangent à la sphère.

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Si h < R, alors le plan coupe la sphère. La section est un cercle.

2 Coordonnées géographiques

 On représente la Terre par une sphère.

La section de la sphère par un plan passant par le centre de la sphère est un grand cercle. L’équateur est le grand cercle de la Terre perpendiculaire à la droite joignant le pôle nord et le pôle sud.

Un méridien est un demi grand cercle perpendiculaire à l’équateur et joignant le pôle nord et le pôle sud.

Un parallèle est un cercle parallèle à l’équateur.

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 Tout point P situé sur Terre est repéré par :

– sa longitude (Est ou Ouest) qui est la mesure d’angle entre le méridien où se trouve le point P et le méridien de Greenwich ;

– sa latitude (Nord ou Sud) qui est la mesure d’angle entre le parallèle où se trouve le point P et l’équateur.

Méthodes

Étudier la section d’une sphère par un plan

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Soit une sphère S de centre O et de rayon R=15 cm. On coupe cette sphère par un plan P tel que la distance du point O à ce plan (représentée par le segment [OH] sur la figure) soit égale à 12 cm.

Quelle est la nature de la section 𝒞 de la sphère S et du plan P ?

En donner les éléments caractéristiques (centre et mesure du rayon).

conseils

Appliquez le théorème de Pythagore.

 

Solution

La section d’une sphère par un plan est un cercle.

Ce cercle C a pour centre H. Son rayon r=HA peut être calculé en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle AHO rectangle en H :

AH2+OH2=OA2,

soit r2=R2OH2 ou r2=152122=81.

Donc r=9 cm.

Calculer la longueur d’un grand cercle

La Terre est assimilée à une boule de rayon R=6 370 km.

Calculer la longueur de l’équateur.

Solution

Nous savons que l’équateur est un grand cercle qui a même centre et même rayon que la Terre.

Notons L la longueur de ce cercle. Alors :

L=2×π×R, soit L=2×π×6370 km

ou encore, arrondie au km, L=40024 km.