Découvrir les fonctions carré et inverse

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Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Fonctions de référence. Etudes de fonctions


Rappels de cours

1 La fonction carré

► La fonction carré est la fonction qui, à tout réel x, associe son carré x2. Son ensemble de définition est l’ensemble des réels.

► Dans un repère orthogonal du plan, la courbe représentative de la fonction carré est une parabole. Elle admet un axe de symétrie, l’axe des ordonnées et un sommet, l’origine du repère.

► La fonction carré est :

strictement décroissante sur ];0] ;

strictement croissante sur [0;+[.

2 La fonction inverse

► La fonction inverse est la fonction qui à tout réel x non nul, associe son inverse 1x. Son ensemble de définition est l’ensemble des réels non nuls ];0[]0;+[ noté * ou encore {0}.

À noter ! Pour indiquer que la fonction inverse n’est pas définie en zéro, une double barre est apposée dans les tableaux de variations et de signes.

► Dans un repère du plan, la courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole. Elle admet un centre de symétrie, l’origine du repère.

► La fonction inverse est strictement décroissante sur ];0[ et sur ]0;+[.

Méthodes

Comparer des images

1. Comparer, sans effectuer de calculs, les carrés des nombres suivants : 5, – 8, 32 et – 1.

2. Comparer, sans effectuer de calculs, les inverses des nombres suivants : a=4, b=2, c=3 et d=12.

Conseils

Rangez, par ordre croissant, les nombres donnés. Utilisez les variations de la fonction carré ou de la fonction inverse sur un intervalle judicieusement choisi selon le signe de ces nombres.

 

Solution

1. Nous avons 8<5<32<1. Ces nombres étant tous négatifs, ils appartiennent à l’intervalle ];0]. Comme la fonction carré est strictement décroissante sur cet intervalle, leurs images sont rangées dans le sens contraire :

(8)2>(5)2>(32)2>(1)2.

2. Nous avons a<d<0<b<c. Comme a<0 et d<0, et que la fonction inverse est strictement décroissante sur ];0[, leurs images sont rangées dans le sens contraire : 1a>1d. De même, comme b>0 et c>0, et que la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0;+[, leurs images sont également rangées dans le sens contraire : 1b>1c. L’inverse d’un réel strictement positif (resp. négatif) étant strictement positif (resp. négatif), nous en concluons que 1d<1a<0<1c<1b.

Déterminer les extremums d’une fonction

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [1;3] par f(x)=72x2.

Déterminer les extremums de la fonction   sur [1;3].

Conseils

Partez de l’inégalité 1x3 afin d’encadrer f(x).

 

Solution

Le réel x appartient à l’intervalle [1;3] inclus dans [0;+[. Comme la fonction carré est strictement croissante sur [0;+[, 1x29. En multipliant cette inégalité par le réel négatif – 2, nous avons 22x218. En ajoutant le réel 7 à chaque membre, nous concluons que 5f(x)11. La fonction f admet ainsi – 11 (=f(3)) comme minimum et 5 (=f(1)) comme maximum sur l’intervalle [1;3].