Découvrir les fonctions exponentielles

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Fiches
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Corpus Corpus 1
D&eacute couvrir les fonctions exponentielles

FB_Bac_98616_MatT_LES_017

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Rappels de cours

1D&eacute finition et repr&eacute sentation des fonctions exponentielles

&thinsp Soit . Les fonctions sont appel&eacute es fonctions exponentielles de base. Elles sont d&eacute finies et d&eacute rivables sur .

&thinsp L&rsquo allure des courbes diff&egrave re selon que ou   :

  • Si , les fonctions sont strictement d&eacute croissantes sur .
  • Si , les fonctions sont strictement croissantes sur .

&thinsp Les fonctions exponentielles sont convexes sur (&gt fiche13).

2Propri&eacute t&eacute s des fonctions exponentielles

&thinsp Les fonctions exponentielles transforment les sommes en produits  :

  • pour tous r&eacute els et   :
  • pour tout r&eacute el  :

&thinsp Si x est un entier naturel, la fonction prend les m&ecirc mes valeurs que la suite g&eacute om&eacute trique de raison et de premier terme (&gt fiche2)  : on parle alors de croissance exponentielle.

M&eacute thodes

Simplifier une expression contenant un terme ax

Simplifier l&rsquo expression .

Conseils

Les r&egrave gles de calcul alg&eacute brique sont les m&ecirc mes que celles concernant les puissances. Attention &agrave ne pas inventer de r&egrave gle de calcul  :

par exemple, , mais en revanche .

Solution

Mod&eacute liser une situation

a. Mod&eacute liser &agrave l&rsquo aide d&rsquo une fonction exponentielle une d&eacute croissance de 20  %.

b.  Quelle croissance est mod&eacute lis&eacute e par une fonction exponentielle de base 1,5  ?

Conseils

Un taux de croissance r&eacute gulier de t  % (t &eacute ventuellement n&eacute gatif pour une diminution) se mod&eacute lise par une fonction exponentielle de base .

Solution

a. Une d&eacute croissance de 20  % se mod&eacute lise avec une fonction exponentielle de base 0,8.

b.  Une fonction exponentielle de base 1,5 mod&eacute lise une croissance de 50  %.

R&eacute soudre l&rsquo &eacute quation ax= b

R&eacute soudre l&rsquo &eacute quation .

Conseils

Ne pas confondre avec une &eacute quation de la forme &eacute quivaut &agrave .

Ici, on peut utiliser les propri&eacute t&eacute s du logarithme n&eacute p&eacute rien (&gt fiche20) ou bien la table de valeurs de la calculatrice.

Solution
  • Avec le logarithme n&eacute p&eacute rien  :

.

  • Avec une calculatrice  : et , donc une valeur approch&eacute e de la solution &agrave 0,01 pr&egrave s est 7,60.

Transformer une expression de la forme

&Eacute crire sous la forme .

Conseils

Dans ce genre d&rsquo &eacute nonc&eacute , on pourra utiliser des valeurs de A et B arrondies &agrave deux ou trois d&eacute cimales. Les r&egrave gles de calculs sur la fonction exponentielle sont les m&ecirc mes que celles sur les puissances.

Solution

,

car&ensp &ensp et&ensp .

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