Découvrir les fonctions exponentielles

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Fiches
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Corpus Corpus 1
Découvrir les fonctions exponentielles

FB_Bac_98616_MatT_LES_017

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Rappels de cours

1Définition et représentation des fonctions exponentielles

► Soit . Les fonctions sont appelées fonctions exponentielles de base. Elles sont définies et dérivables sur .

► L’allure des courbes diffère selon que ou  :

  • Si , les fonctions sont strictement décroissantes sur .
  • Si , les fonctions sont strictement croissantes sur .

► Les fonctions exponentielles sont convexes sur (>fiche 13).

2Propriétés des fonctions exponentielles

► Les fonctions exponentielles transforment les sommes en produits :

  • pour tous réels et  :
  • pour tout réel :

► Si x est un entier naturel, la fonction prend les mêmes valeurs que la suite géométrique de raison et de premier terme (>fiche 2) : on parle alors de croissance exponentielle.

Méthodes

Simplifier une expression contenant un terme ax

Simplifier l’expression .

Conseils

Les règles de calcul algébrique sont les mêmes que celles concernant les puissances. Attention à ne pas inventer de règle de calcul :

par exemple, , mais en revanche .

Solution

Modéliser une situation

a. Modéliser à l’aide d’une fonction exponentielle une décroissance de 20 %.

b. Quelle croissance est modélisée par une fonction exponentielle de base 1,5 ?

Conseils

Un taux de croissance régulier de t % (t éventuellement négatif pour une diminution) se modélise par une fonction exponentielle de base .

Solution

a. Une décroissance de 20 % se modélise avec une fonction exponentielle de base 0,8.

b. Une fonction exponentielle de base 1,5 modélise une croissance de 50 %.

Résoudre l’équation ax= b

Résoudre l’équation .

Conseils

Ne pas confondre avec une équation de la forme équivaut à .

Ici, on peut utiliser les propriétés du logarithme népérien (> fiche 20) ou bien la table de valeurs de la calculatrice.

Solution
  • Avec le logarithme népérien :

.

  • Avec une calculatrice : et , donc une valeur approchée de la solution à 0,01 près est 7,60.

Transformer une expression de la forme

Écrire sous la forme .

Conseils

Dans ce genre d’énoncé, on pourra utiliser des valeurs de A et B arrondies à deux ou trois décimales. Les règles de calculs sur la fonction exponentielle sont les mêmes que celles sur les puissances.

Solution

,

car  et .

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