Découvrir les propriétés du produit scalaire

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Fiches
Classe(s) : 1re S | Thème(s) : Produit scalaire dans le plan
Corpus Corpus 1
Découvrir les propriétés du?produit?scalaire

FB_Bac_99063_Mat1_S_033

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Rappels de cours

1 Carré scalaire

Soit un vecteur du plan.

? Le carré scalaire de est le nombre .

On note .

? En particulier, .

2 Symétrie et bilinéarité

Soient trois vecteurs du plan , et ainsi qu’un réel .

? Le produit scalaire est symétrique?:

? Le produit scalaire est bilinéaire?:

3 Orthogonalité

Soient et deux vecteurs non nuls du plan.

? Soient quatre points et tels que et

Dire que les vecteurs et sont orthogonaux (on note ) signifie que les droites et sont perpendiculaires.

? Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur du plan.

? et sont orthogonaux si et seulement si

4 Identités remarquables

À tous vecteurs et du plan, on peut appliquer les identités remarquables?:

Méthodes

Montrer que deux droites sont perpendiculaires

Soit un carré de côté 1.

Soient le milieu de et J le milieu de

Démontrer que les droites et sont perpendiculaires.

Conseils

Montrez que le produit scalaire est nul.

Solution

 

Or, par hypothèse, donc

Ensuite,

donc et

Finalement?:

Les droites et sont donc perpendiculaires.

Traduire une orthogonalité

Dans un repère orthonormé du plan, on donne et Déterminer pour que le triangle soit rectangle en

Solution

Rappel

Si

et sont deux vecteurs, alors .

Le triangle est rectangle en si et seulement si .

On a?:

et

Ainsi est rectangle en si et seulement si

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