Décrire le mouvement des satellites et des planètes

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Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Temps, mouvement et évolution
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Décrire le mouvement des satellites et des planètes

FB_Bac_98618_PhyT_S_024

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Rappels de cours

1Les lois de Kepler


 Les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil est un des foyers.

 Le segment qui joint le Soleil à une planète balaie des aires égales en des temps égaux.

 Si est la période de révolution et le demi-grand axe, le rapport est constant.

Remarques : ces lois sont empiriques ; elles ont été établies à partir des mesures astronomiques des prédécesseurs de Kepler. Elles sont généralisables au mouvement des satellites artificiels.

2Approximation par des trajectoires circulaires


 La trajectoire des satellites artificiels autour de la Terre ou des planètes autour du Soleil est assimilée à un cercle de rayon .

 Le satellite de masse m n’est soumis qu’à la force gravitationnelle (>fiche18), exercée par l’astre de masse le plus proche (Terre ou Soleil) :

.

Cette force est dirigée selon la normale à la trajectoire circulaire.

 La 2e loi de Newton (>fiche20) s’écrit  ; dans le repère de Frénet (>fiche16) on obtient :

– projection selon  : , donc est constante (dérivée nulle), le mouvement est uniforme ;

– projection selon  : donc .

La vitesse, ne dépend pas de la masse du satellite.

Méthodes

Exploiter qualitativement une loi de Kepler

Montrer sans calcul que dans le cas d’une trajectoire circulaire la vitesse d’un satellite est constante.

Conseils

Utiliser la 2e loi de Kepler.

Solution

La 2e loi dit : « Le segment qui joint le Soleil à une planète balaie des aires égales en des temps égaux ».

Dans le cas d’une trajectoire circulaire, le segment a une longeur constante : r. Quel que soit α, le satellite parcourt les arcs de cercle de longueur Rα en des temps égaux : il est donc animé d’une vitesse constante.

Comparer des distances grâce à une loi de Kepler

Mars effectue un tour complet autour du Soleil en 687 jours. Compa­rer la distance Mars-Soleil à la distance Terre-Soleil.

Solution

La 3e loi de Kepler s’écrit pour les deux planètes :

, soit ou .

La distance Mars-Soleil vaut une fois et demie la distance Terre-Soleil.

Établir l’expression de la constante de la 3e loi de Kepler

Démontrer la relation pour les trajectoires circulaires.

Solution

En une durée T, le satellite effectue un tour de périmètre 2πR. Donc . Or donc et finalement : .

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