Décrire le transport de masse et de volume par un fluide en mouvement

On mesure le diamètre intérieur du vase. On calcule la section S.
On tare le bécher.
On ouvre la pince de Mohr et on laisse s’écouler l’eau.
On mesure le temps t mis pour faire écouler un volume V de liquide recueilli dans le bécher.
On ferme la pince.
On mesure la baisse de niveau h.
On calcule le volume V $(V = S \times h) .$
On pèse le bécher et son contenu.
On en déduit la masse m du liquide déplacé.
On peut alors calculer le débit Q et la vitesse d’écoulement v d’après les formules de la section suivante.

Le débit volumique : $Q_{v} = \frac{V}{t}$ , avec Q en m³/s, V en m³ et t en s.
Le débit massique : $Q_{m} = \frac{m}{t},$ avec Q en kg/s, m en kg et t en s.
La vitesse moyenne : $v = \frac{h}{t}$ , avec v en m/s, h en m et t en s.

$Q = \frac{V}{t},$ avec $V = S \times h$ , donc $Q = \frac{S \times h}{t} = S \times v$ .
Le débit volumique Q dans une canalisation est donc lié à la section S et à la vitesse d’écoulement du fluide par l’équation : $Q = S \times v,$ avec Q en m³/s, S en m² et v en m/s.

L’écoulement d’un fluide est dit permanent si le débit est constant : $Q_{1} = Q_{2} = S_{1} \times v_{1} = S_{2} \times v_{2} = c o n s t a n t e .$
On appelle cette équation l’équation de conservation du débit (ou équation de continuité).
La section et la vitesse sont donc des grandeurs inversement proportionnelles : $S_{1} < S_{2} < S_{1} \to v_{2} > v_{1}$ .

Pour un fluide parfait (c’est-à-dire incompressible et dont les frottements sont négligeables), en régime permanent, l’énergie se conserve entre l’état 1 et l’état 2 (voir schéma) :

$\frac{1}{2} ρ \times v_{1}^{2} + P_{1} + ρ \times g \times z_{1} = \frac{1}{2} ρ \times v_{2}^{2} + P_{2} + ρ \times g \times z_{2}$ avec :

–ρ : la masse volumique du liquide en kg/m³ ;
–P₁, P₂ : la pression statique en Pa ;
–v₁ et v₂ : la vitesse d’écoulement du fluide dans les sections S₁ et S₂ en m/s ;
–z₁, z₂ : l’altitude des sections S₁ et S₂ en m ;
–g : l’accélération de la pesanteur (en N/kg ou m/s²).

On a donc : $\frac{1}{2} ρ (v_{1}^{2} - v_{2}^{2}) + (P_{1} - P_{2}) + ρ \times g (z_{1} - z_{2}) \equiv 0$ .

Les différentes parties de cette dernière formule correspondent aux différentes variations de pression :
- –la variation dynamique $(\frac{1}{2} ρ (v_{1}^{2} - v_{2}^{2}))$ ;
- –la variation statique ( $P_{1} - P_{2})$ ;
- –la variation due à la différence d’altitude ( $ρ \times g (z_{1} - z_{2}))$ .

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