Une population de noyaux radioactifs évolue au cours du temps en suivant une loi de décroissance exponentielle, dont un paramètre important est la demi-vie radioactive.

I Loi de décroissance radioactive

La désintégration d'un noyau radioactif est aléatoire et il n'est donc pas possible de prévoir le moment où elle aura lieu. Cependant, cet événement a une certaine probabilité de se produire pendant un intervalle de temps infinitésimal dt. Cette probabilité est constante au cours du temps et indépendante des autres noyaux (de la même façon que la probabilité de « sortir un 1 » avec un dé est toujours 1/6 quels que soient les autres dés et les lancers précédents).

Un échantillon contient N noyaux radioactifs identiques à la date t. La variation dN du nombre de noyaux entre les dates t et t + dt est négative car des noyaux se sont désintégrés spontanément pendant la durée dt. La désintégration radioactive étant un processus aléatoire, le nombre de désintégrations par unité de temps $\frac{-\text{d}N}{\text{d}t}$ est proportionnel au nombre N de noyaux radioactifs : $\frac{-\text{d}N}{\text{d}t}=\text{λ}\times N$ avec λ la constante radioactive, ou constante de désintégration, exprimée en s⁻¹.

La constante de désintégration λ est caractéristique de l'isotope radioactif. Exemple : λ = 3,9 × 10^–12 s⁻¹ pour le carbone 14.

L'équation différentielle du premier ordre : $\frac{\text{d}N}{\text{d}t}=-\text{λ}N$ ou $\frac{\text{d}N}{\text{d}t}+\text{λ}N=0$ admet pour solution une exponentielle décroissante :

Cette relation est la loi de décroissance radioactive.

II Temps caractéristiques de la décroissance radioactive

La constante de temps $\text{τ}=\frac{1}{\text{λ}}$ est le temps nécessaire pour que 63 % des noyaux radioactifs contenus dans un échantillon se désintègrent.

La demi-vie radioactive t_1/2 est la durée nécessaire pour que la moitié, soit 50 %, des noyaux radioactifs contenus dans un échantillon se désintègrent.

Les demi-vies ont des valeurs très variées.

Exemple : la demi-vie de l'iode 131 est 8,1 jours, celle du carbone 14 est 5 570 ans.

Méthode

Exploiter la loi de décroissance radioactive

On considère un échantillon de N₀ noyaux radioactifs de constante radioactive λ.

a. Montrer que 63 % des noyaux radioactifs se sont désintégrés à la date $\text{τ}=\frac{1}{\text{λ}}$ (appelée constante de temps).

b. Établir la relation entre la demi-vie t_1/2 et λ. Exprimer τ en fonction de t_1/2.

c. Déterminer le nombre N de noyaux aux dates t_1/2, 2t_1/2 et nt_1/2 et en déduire l'allure de la représentation graphique de N(t).

Conseils

a. Utilisez la loi de décroissance radioactive.

b. Définissez la demi-vie radioactive et utilisez la loi de décroissance.

c. Utilisez n fois la définition de la demi-vie.

Solution

a. La loi de décroissance $N\left(t\right)=N_0{\text{e}}_{}^{-\text{λ}t}$ conduit à :

$\frac{N\left(\text{τ}\right)}{N_0}={\text{e}}_{}^{-\text{λ}\text{τ}}={\text{e}}_{}^{-\frac{\text{λ}}{\text{λ}}}={\text{e}}_{}^{-1}\approx \mathrm{0,37}$. Cela signifie qu'au bout d'une durée τ, il ne reste que 37 % des noyaux radioactifs, c'est-à-dire que 63 % des noyaux se sont désintégrés.

b. Par définition, la demi-vie t_1/2 est telle que $N\left(t_{1/2}\right)=\frac{N_0}{2}$. La loi de décroissance permet d'écrire $N\left(t_{1/2}\right)=N_0{\text{e}}_{}^{-\text{λ}{t}_{1/2}}=\frac{N_0}{2}$ donc ${\text{e}}_{}^{-\text{λ}{t}_{1/2}}=\frac{1}{2}$ ou ${\text{e}}_{}^{+\text{λ}{t}_{1/2}}=2$ et par conséquent : $\text{λ}{t}_{1/2}=\ln 2$ donc $t_{1/2}=\frac{\ln 2}{\text{λ}}$ et $\text{τ}=\frac{t_{1/2}}{\ln 2}=\mathrm{1,44}{t}_{1/2}$.

c. À chaque demi-vie, le nombre N de noyaux est divisé par 2.

À noter

On vérifie sur le graphique la définition de la constante de temps τ établie à la question a.