Définir et utiliser la notion de colinéarité

Merci !

Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Coordonnées d'un point du plan. Vecteurs


Rappels de cours

1 Définition

À noter ! u et v sont colinéaires s’il existe λ réel tel que v=λu.

Deux vecteurs du plan sont colinéaires si l’un est le produit de l’autre par un réel.

exemple Dans un repère du plan, les vecteurs u(5;3) et v(10;6) sont colinéaires car v=2u.

Remarque : Le vecteur nul 0 est colinéaire à tout vecteur u du plan : 0=0×u.

2 Colinéarité dans un repère

Dans un repère du plan, les vecteurs u(x;y) et v(x;y) sont colinéaires si et seulement : x×yy×x=0

exemple Dans un repère du plan, les vecteurs u(2;3) et v(83;12) sont colinéaires car :

x×yy×x=2×123×(83)=0.

3 Alignement et parallélisme

 Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.

 Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires.

Méthodes

Démontrer un alignement dans un repère

Dans un repère du plan, soit les points A(53;2), B(3;5) et C(3;4). Démontrer que les points A, B et C sont alignés.

Conseils

Calculez les coordonnées des vecteurs AB et AC. Démontrez ensuite que ces vecteurs sont colinéaires.

 

Solution

Les coordonnées du vecteur AB sont :

(xBxAyByA)=(3(53)52)=(1437).

Les coordonnées du vecteur AC sont :

(xCxAyCyA)=(3(53)42)=(432).

Comme xAB×yACyAB×xAC=143×2(7)×(43)=0, AB et AC sont colinéaires. Donc les points A, B et C sont alignés.

Démontrer un parallélisme sans repère

Soient ABC un triangle, E et F les points tels que AE=AB+3AC et AF=3AB+AC. Démontrer que (EF) et (CB) sont parallèles.

Conseils

Décomposez le vecteur EF à l’aide de la relation de Chasles pour démontrer que EF et CB sont colinéaires.

 

Solution

Par la relation de Chasles, EF=EA+AF. Par définition des points E et F et comme EA=AE (vecteur opposé ), nous avons :

EF=AE+AF=(AB+3AC)+(3AB+AC)=2AB2AC.

2AB2AC=2(ABAC)=2(AB+CA)=2(CA+AB)=2CB.

Comme EF=2CB, les vecteurs EF et CB sont colinéaires. Cela implique que les droites (EF) et (CB) sont parallèles.

02909_F33_01