En bref Les problèmes abordent souvent des situations de la vie courante. Ils commencent par l'étude d'un cas pratique, ils se poursuivent par l'étude du cas général et demandent l'étude d'une ou plusieurs fonctions affines.
IFonction affine
Soit a et b deux nombres donnés. La fonction qui à un nombre x associe le nombre ax + b est appelée fonction affine.
On note cette fonction :
Exemple :
La fonction qui à un nombre x associe son double augmenté de 3 est une fonction affine. On la note ou f(x) = 2x + 3.
IIFonctions affines particulières
Une fonction linéaire f définie par f(x) = ax est une fonction affine particulière pour laquelle b = 0.
Une fonction constante f définie par f(x) = b est une fonction affine particulière pour laquelle a = 0. Cette fonction associe au nombre x le nombre b.
Exemple :
La fonction f définie par f(x) = 5 est la fonction constante qui, au nombre x, associe le nombre 5.
IIIFonctions affines et situation problème
Dans de nombreuses situations concrètes, on est amené à définir une ou plusieurs fonctions affines pour résoudre le problème posé.
Exemple :
Une location de voiture coûte 43 € par jour.
Le loueur demande une caution de 120 €.
Le prix payé pour x jours de location est associé à la fonction affine f définie par f(x) = 43x + 120.
Méthode
Définir une fonction affine
Un site en ligne permet de télécharger légalement des films. Il propose deux offres, l'offre A et l'offre B.
Offre A : 5 € par film téléchargé avec un accès gratuit au site.
Offre B : 3 € par film téléchargé moyennant un abonnement annuel de 50 €.
1 Pour chaque offre, calculer le prix de 30 films téléchargés par an en tenant compte, selon l'offre, de l'abonnement annuel.
2 a. Exprimer le prix f(x) avec l'offre A, en fonction du nombre x de films téléchargés.
b. Exprimer le prix g(x) avec l'offre B, en fonction du nombre x de films téléchargés.
3 Déterminer le nombre de films pour lequel les prix avec l'offre A et l'offre B sont égaux.
Conseils
1 Pour l'offre A, le prix d'un film téléchargé est 5 €. Pour l'offre B, le prix d'un film téléchargé est 3 € ; pense dans cette offre à ajouter l'abonnement annuel de 50 €.
2 Dans cette question, le nombre de films téléchargés est désigné par la lettre x.
3 Il s'agit de déterminer la valeur de x telle que le prix f(x) avec l'offre A est égal au prix g(x) avec l'offre B. Résous une équation.
Solution
1 Avec l'offre A, pour 30 films, on paye 5 × 30 = 150 €.
Avec l'offre B, on paye 3 € par film, soit pour 30 films, 3 × 30 = 90 €.
À ces 90 €, il faut ajouter l'abonnement annuel de 50 €. Soit 90 + 50 = 140 €.
2 On désigne par x le nombre de films téléchargés.
a. Pour l'offre A, on multiplie le nombre x de films téléchargés par le prix d'un film, 5 €. On obtient un prix égal à f(x) = 5 × x ou f(x) = 5x.
b. Pour l'offre B, on multiplie le nombre x de films téléchargés par le prix d'un film, 3 €, et on ajoute l'abonnement annuel de 50 €. On obtient un prix g(x) = 3 × x + 50 ou g(x) = 3x + 50.
3 Afin de déterminer le nombre de films pour lequel les prix sont les mêmes, on résout l'équation f(x) = g(x). Soit :
5x = 3x + 50
5x − 3x = 50
2x = 50
x = 50 ÷ 2
x = 25.
Les prix sont les mêmes si on télécharge 25 films avec l'offre A ou l'offre B.