En bref Une fonction linéaire peut être directement liée à une situation de proportionnalité, telle qu'on la rencontre souvent dans la vie courante.

ILa quatrième proportionnelle

a, b, c et d sont quatre nombres non nuls.

On considère le tableau de proportionnalité ci-­dessous :

Pour calculer la quatrième proportionnelle de ce tableau, ici d, on utilise la propriété suivante : le tableau de proportionnalité est équivalent à $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ ou encore ad = bc (appelé « produit en croix »).

Exemple : On considère le tableau de proportionnalité ci-­dessous :

À l'aide d'un produit en croix, on obtient 0,5 × d = 12 × 2,1.

On en déduit que $d=\frac{12\times \mathrm{2,1}}{\mathrm{0,5}}$, soit d = 50,4.

IINotion de fonction linéaire

1 Qu'est-ce qu'une fonction linéaire ?

Soit a un nombre donné non nul. La fonction qui à un nombre x associe le nombre ax est appelée fonction linéaire. On note :

$f:x\mapsto ax$ ou f(x) = ax

2 Que traduit une fonction linéaire ?

Une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité dont le coefficient est le nombre a.

Méthode

Associer un tableau de proportionnalité à une fonction linéaire

On considère le tableau de proportionnalité ci-­dessous.

1 a. Calculer b.

b. On appelle a le coefficient de proportionnalité. Calculer a.

2 Donner l'expression de la fonction linéaire f associée à ce tableau.

3 La fonction linéaire f trouvée à la question précédente est-elle aussi associée au tableau de proportionnalité ci-dessous ?

Conseils

1 a. Utilise l'égalité des produits en croix pour calculer b.

b. Divise l'un des nombres de la deuxième ligne par celui qui lui correspond sur la première ligne pour calculer a.

2 La fonction linéaire associée à ce tableau de proportionnalité est notée f(x) = ax.

Solution

1 a. À l'aide de l'égalité des produits en croix, on obtient :

$20\times b=70\times 30$

$20b=2100$

$b=2100÷20$.

Donc b = 105.

b. On a l'égalité :

$20\times a=70$

$a=70÷20$.

D'où a = 3,5.

2 La fonction linéaire f a pour coefficient 3,5.

Donc f(x) = 3,5x.

3 On regarde si 3,5 est le coefficient de proportionnalité de ce nouveau tableau.

On a 43,75 ÷ 12,5 = 3,5 et 122,5 ÷ 35 = 3,5.

La fonction linéaire f est bien associée à ce tableau.