Définir le cosinus et le sinus d’un réel

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Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Trigonométrie


Rappels de cours

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J).

1 Cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1 orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Ce sens est appelé sens direct ou encore sens trigonométrique .

2 Enroulement de la droite des réels

 Soit 𝒞 le cercle trigonométrique et 𝒟 la droite des réels placée tangente à 𝒞 en I. Par enroulement de la droite 𝒟 sur 𝒞 :

02909_F23_01

à tout réel x de 𝒟 est associé un unique point sur le cercle trigonométrique appelé l’image de x sur 𝒞 ;

à tout point M de 𝒞, on peut associer une infinité de réels de 𝒟.

 Si x a pour image M sur le cercle trigonométrique, tout autre réel qui a pour image M s’obtient en ajoutant ou en enlevant à x un multiple de 2π.

exemple Les réels x=π3 ; y=π3+4π=13π3 et z=π36π=17π3 ont la même image sur le cercle trigonométrique 𝒞.

3 Sinus et cosinus d’un nombre réel

Soit x un réel et M l’image de x sur le cercle trigonométrique.

 L’abscisse de M est appelée cosinus de x et se note cos(x).

 L’ordonnée de M est appelée sinus de x et se note sin(x).

 Pour tout réel x :

1cos(x)11sin(x)1cos2(x)+sin2(x)=1

4 Valeurs remarquables

x

0

π6

π4

π3

π2

Angle au centre en degrés

0

30

45

60

90

sin(x)

0

12

22

32

1

cos(x)

1

32

22

12

0

Méthodes

Associer réels et images sur le cercle trigonométrique

Déterminer si le réel 29π6 a la même image que π6 sur le cercle trigonométrique 𝒞.

Conseils

Retenez que deux réels x et y ont la même image sur le cercle trigonométrique si et seulement si xy est un multiple de 2π.

 

Solution

29π6π6=30π6=5π n’est pas un multiple de 2π donc 29π6 et π6 n’ont pas la même image sur 𝒞.

Utiliser le cercle trigonométrique

Déterminer cos(2π3) et sin(3π4).

Conseils

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Placez les deux réels sur le cercle trigonométrique et exploitez le tableau des valeurs remarquables.

 

Solution

cos(2π3)=12 et sin(3π4)=22.