L'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle I est l'aire de la surface comprise entre sa courbe et l'axe des abscisses.

I Intégrale d'une fonction continue positive

Le plan est rapporté à un repère orthogonal $\left(\text{O};\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)$. f désigne une fonction continue sur un intervalle [a ; b], $a\text{⩽}b$. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de f dans le repère $\left(\text{O};\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)$.

Soient I et J des points du plan tels que $\overrightarrow{\text{OI}}=\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{\text{OJ}}=\overrightarrow{j}$. .

On appelle unité d'aire (notée u.a.) l'aire du rectangle de longueur OI et de largeur OJ.

Définition : Si f est positive sur [a ; b], ­l'intégrale de f sur [a ; b] est l'aire, exprimée en u.a., du ­domaine délimité par $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b.

On la note ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(t\right)\text{d}t}$.

a et b s'appellent les bornes de l'intégrale.

Par convention, pour tous réels a et b tels que $a\text{⩽}b$ :

${\displaystyle {\int }_a^{a}f\left(t\right)\text{d}t=0}$ et ${\displaystyle {\int }_b^{a}f\left(t\right)\text{d}t}=-{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(t\right)\text{d}t}$

II Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque

Définition : Si f est négative sur [a ; b], l'intégrale de f sur [a ; b], toujours ­notée ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(t\right)\text{d}t}$, est l'opposée de l'aire du domaine délimité par $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b.

Définition : Si f n'est pas de signe constant sur [a ; b], on découpe [a ; b] en intervalles [a ; a₁], [a₁ ; a₂], … , [a_n ; b] sur lesquels f est de signe constant ; l'intégrale de f sur [a ; b] est la somme des intégrales de f sur ces segments.

Relation de Chasles : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous a, b, c de I, on a :

_{${\displaystyle {\int }_a^{c}f\left(t\right)\text{d}t}={\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(t\right)\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_b^{c}f\left(t\right)\text{d}t}$}

Méthode

Encadrer une intégrale par la méthode des rectangles

On considère la fonction inverse f définie sur ${\text{ℝ}}^{*}$ par $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$, et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal. On note D le domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$, et les droites d'équations x = 1 et x = 2. On cherche à encadrer l'aire de ce domaine, notée A.

Soit n un entier naturel non nul. On découpe l'intervalle [1 ; 2] en n ­intervalles de même longueur. En considérant l'aire des rectangles « sous la courbe » et l'aire des rectangles « sur la courbe », montrer que :

_{$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\mathrm{...}+\frac{1}{n+n}\text{⩽}A\text{⩽}\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\mathrm{...}+\frac{1}{n+\left(n-1\right)}$}

puis que $0\text{⩽}A-\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\mathrm{...}+\frac{1}{2n}\right)\text{⩽}\frac{1}{2n}$.

solution

Soit k ∈ {1, 2, ..., n}.

Sur $\left[1+\frac{k-1}{n};1+\frac{k}{n}\right]$, on construit deux rectangles R_k et r_k de hauteurs ­respectives $f\left(1+\frac{k-1}{n}\right)$ et $f\left(1+\frac{k}{n}\right)$.

On a, par décroissance de f,

aire(r₁) + aire (r₂) + ... + aire(r_n) ≤ A ≤ aire(R₁) + aire(R₂) + ... + aire(R_n),

avec $\left\{\begin{array}{l}\text{aire}\left(R_k\right)=\frac{1}{n}\times f\left(1+\frac{k-1}{n}\right)=\frac{1}{n}\times \frac{n}{n-1+k}=\frac{1}{n-1+k}\\ \text{aire}\left(r_k\right)=\frac{1}{n}\times f\left(1+\frac{k}{n}\right)=\frac{1}{n}\times \frac{n}{n+k}=\frac{1}{n+k}\end{array}\right.$

On en déduit que

$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\mathrm{...}+\frac{1}{n+n}\text{⩽}A\text{⩽}\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\mathrm{...}+\frac{1}{n+\left(n-1\right)}$.

En retranchant $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\mathrm{...}+\frac{1}{n+n}$ à tous les membres, on obtient

_{$0\text{⩽}A-\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\mathrm{...}+\frac{1}{2n}\right)\text{⩽}\frac{1}{n}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{2n}$}.