L'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle I est l'aire de la surface comprise entre sa courbe et l'axe des abscisses.

I Intégrale d'une fonction continue positive

Le plan est rapporté à un repère orthogonal $\left(\text{O};\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right).$

Soient I et J des points du plan tels que $\overrightarrow{\text{OI}}=\overrightarrow{i,}$$\overrightarrow{\text{OJ}}=\overrightarrow{j.}$ On appelle unité d'aire (notée u.a.) l'aire du rectangle de longueur OI et de largeur OJ.

Définition : Soit f une fonction continue positive sur un intervalle $\left[a;b\right]$, $a\le b.$ On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de f dans le repère $\left(\text{O};\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right).$

L'intégrale de f sur $\left[a;b\right]$ est l'aire, exprimée en u.a., du domaine délimité par $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b.$ On la note ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(t\right)\text{d}t}$. a et b s'appellent les bornes de l'intégrale.

Théorème fondamental : Si f est une fonction continue positive sur un intervalle $\left[a;b\right]$, la fonction $F_a$ définie sur $\left[a;b\right]$ par $F_a\left(x\right)={\displaystyle {\int }_a^{x}f\left(t\right)\text{d}t}$ est la primitive de f qui s'annule en a.

Conséquence : Si F est une primitive de f sur $\left[a;b\right]$, on a ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(t\right)\text{d}t}=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ que l'on note ${\left[F\left(t\right)\right]}_a^b.$

II Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque

Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et F une primitive de f sur I. Pour tous a, b de I, on définit ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(t\right)\text{d}t}$ par :

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(t\right)\text{d}t}={\left[F\left(t\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

Remarque : Si f est continue négative sur $\left[a;b\right]$, alors l'intégrale de f sur $\left[a;b\right]$ est l'opposé de l'aire du domaine défini par ${\displaystyle {\int }_a^b-f\left(t\right)\text{d}t}$.

Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle $\left[a;b\right]$, a ⩽ b. On appelle valeur moyenne de f sur $\left[a;b\right]$ le réel :

$\mu =\frac{1}{b-a}{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(t\right)\text{d}t}$

Méthode

Calculer l'aire d'un domaine limité par deux courbes

On considère les fonctions f et g définies sur $\left]0;+\text{∞}\right[$ par $f\left(x\right)=x-2+\frac{\ln x}{x}$ et $g\left(x\right)=x-2.$

On note $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}$′ leurs courbes respectives dans un repère orthogonal d'unités graphiques 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

Calculer l'aire en cm², du domaine $\mathcal{D}$ du plan limité par les courbes $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}$′ et les droites d'équation $x=\frac{1}{\text{e}}$ et $x=2.$

Conseils

Étape 1 Cherchez le signe de la fonction $f-g$ sur l'intervalle $\left[\frac{1}{\text{e}};2\right].$

Étape 2 Découpez $\left[\frac{1}{\text{e}};2\right]$ en intervalles sur lesquels le signe de $f-g$ est constant. L'aire de chacun des domaines ainsi délimités est égale à l'intégrale de $f-g$ si $f-g$ est positive, et à l'opposé de l'intégrale de $f-g$ si $f-g$ est négative.

L'aire de $\mathcal{D}$ (en u.a.) est alors la somme de l'aire de chacun des domaines.

Étape 3 Convertissez le résultat précédent en cm².

Solution

Étape 1 Pour tout $x>0,$ on a $f\left(x\right)-g\left(x\right)=\frac{\ln x}{x}\ge 0\iff x\ge 1.$

Donc, $f-g$ est négative sur $\left[\frac{1}{\text{e}};1\right],$ positive sur $\left[1;2\right]$.

Étape 2 On a $A=A_1+A_2=-{\displaystyle {\int }_{\frac{1}{\text{e}}}^1\left(\frac{\ln t}{t}\right)\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_1^2\left(\frac{\ln t}{t}\right)\text{d}t}.$ Or une primitive de $t\mapsto \frac{\ln t}{t}$, fonction de la forme $u^{\prime }u$ avec $u\left(t\right)=\ln t$, est $t\mapsto \frac{1}{2}{\left(\ln t\right)}^2$. Donc $A=-{\left[\frac{1}{2}{\left(\ln t\right)}^2\right]}_{\frac{1}{\text{e}}}^1+{\left[\frac{1}{2}{\left(\ln t\right)}^2\right]}_1^2=-\left(-\frac{1}{2}{\left(\ln \frac{1}{\text{e}}\right)}^2\right)+\frac{1}{2}{\left(\ln 2\right)}^2=\frac{1}{2}+\frac{{\left(\ln 2\right)}^2}{2}\text{u.a.}$

Étape 3 On a $1\text{u.a.}=1\times 2{\text{cm}}^2=2{\text{cm}}^2.$ Donc $A=1+{\left(\ln 2\right)}^2{\text{cm}}^2$.