Définition et loi de probabilité d’une variable aléatoire

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Classe(s) : 1re Générale | Thème(s) : Variables aléatoires réelles


Lorsqu’on effectue une expérience aléatoire il y a plusieurs ­manières d’en étudier les issues afin de dégager une loi qui régit, en quelque sorte, le hasard. C’est l’un des rôles des variables aléatoires.

I Introduction

Lorsqu’on jette deux dés cubiques, on peut par exemple étudier la somme des points, notée S, qui est un nombre aléatoire compris entre 2 et 12, ou le nombre maximum obtenu, noté M, qui est un nombre entier aléatoire compris entre 1 et 6.

On définit ainsi ce que l’on appelle deux variables aléatoires notées S et M

Interrogeons-nous sur la probabilité que S prenne la valeur k, k étant un entier compris entre 2 et 12, et que M prenne la valeur h, h étant un entier compris entre 1 et 6. On note ces probabilités P(S = k) et P(M = h).

On dit alors que l’on cherche la loi de probabilité de S et de M.

II Définition et loi de probabilité

On considère un univers Ω.

À noter

L’écriture a; b signifie tous les nombres entiers de l’intervalle réel [a ; b].

Une variable aléatoire est une fonction de Ω dans ℝ qui à chaque événement élémentaire de Ω associe un nombre. On la note v.a. en abrégé.

On note X(Ω) l’ensemble des valeurs que peut prendre une v.a. X.

Exemple : Si on reprend l’exemple précédent et si on note (a, b) le résultat du jet des deux dés, on a S(Ω)=2;12, S((2, 4)) = 6, M((4, 3)) = 4.

La loi de probabilité d’un v.a. X est une fonction f de Ω dans ℝ.

À tout x de ℝ elle associe P(X = x) :

f(x) = P(X = x)

Exemple : On remarque que, pour tout réel x2;12, P(S = x) = 0. En effet, S ne prend que les valeurs entières de 2 à 12.

En généralisant cette remarque, on voit que pour définir la loi de probabilité d’une v.a. X, il suffit d’en dresser un tableau de valeurs.

À noter

k=1npk=p1+p2++pn=1.

x

x1

x2

xn

P(X = x)

p1

p2

pn

Méthode

Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire

À la pizzeria, pour un déjeuner rapide, on peut choisir une des deux entrées à 2,40 € ou 3 €, une des deux pizzas à 5 € ou 5,60 € et une des deux boissons à 0,80 € ou 1,40 €. On décide de choisir au hasard une entrée, une pizza et une boisson. Soit X la variable aléatoire égale au prix que l’on doit payer.

1. Déterminer X(Ω) et la loi de probabilité de X.

2. Quelle est la probabilité que l’on paie moins de 9 € ?

conseils

1. Faire un arbre de probabilité, puis dresser un tableau.

2. Si l’on paie moins de 9 €, quelles sont les sommes que l’on peut payer ?

solution

1. L’arbre suivant montre que X(Ω) = {8,2 ; 8,8 ; 9,4 ; 10}.

05285_chap11_fiche33i01

Le principe multiplicatif conduit au tableau suivant qui résume la loi de probabilité de X

x

8,2

8,8

9,4

10

P(X = x)

(12)3=18

3×(12)3=38

3×(12)3=38

(12)3=18

Par exemple, on constate qu’on peut obtenir 8,8 en suivant trois chemins :

2,4 – 5 – 1,4 ; 2,4 – 5,6 – 0,8 et 3 – 5 – 0,8.

2. On cherche P(X < 9). On voit que si on paie moins de 9 €, on paie obligatoirement 8,2 € ou 8,8 €.

Donc P(X<9)=P(X=8,2)+P(X=8,8)=18+38=48=12.