Définition et loi de probabilité d'une variable aléatoire

Lorsqu'on effectue une expérience aléatoire il y a plusieurs ­manières d'en étudier les issues afin de dégager une loi qui régit, en quelque sorte, le hasard. C'est l'un des rôles des variables aléatoires.

I Introduction

Lorsqu'on jette deux dés cubiques, on peut par exemple étudier la somme des points, notée S, qui est un nombre aléatoire compris entre 2 et 12, ou le nombre maximum obtenu, noté M, qui est un nombre entier aléatoire compris entre 1 et 6.

On définit ainsi ce que l'on appelle deux variables aléatoires notées S et M. 

Interrogeons-nous sur la probabilité que S prenne la valeur k, k étant un entier compris entre 2 et 12, et que M prenne la valeur h, h étant un entier compris entre 1 et 6. On note ces probabilités P(S = k) et P(M = h).

On dit alors que l'on cherche la loi de probabilité de S et de M.

II Définition et loi de probabilité

On considère un univers Ω.

Une variable aléatoire est une fonction de Ω dans ℝ qui à chaque événement élémentaire de Ω associe un nombre. On la note v.a. en abrégé.

On note X(Ω) l'ensemble des valeurs que peut prendre une v.a. X.

Exemple : Si on reprend l'exemple précédent et si on note (a, b) le résultat du jet des deux dés, on a $S\left(\Omega \right)=〚2;12〛$, S((2, 4)) = 6, M((4, 3)) = 4.

La loi de probabilité d'un v.a. X est une fonction f de ℝ dans ℝ.

À tout x de ℝ elle associe P(X = x) :

f(x) = P(X = x)

Exemple : On remarque que, pour tout réel $x\notin 〚2;12〛$, P(S = x) = 0. En effet, S ne prend que les valeurs entières de 2 à 12.

En généralisant cette remarque, on voit que pour définir la loi de probabilité d'une v.a. X, il suffit d'en dresser un tableau de valeurs.

Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire

À la pizzeria, pour un déjeuner rapide, on peut choisir une des deux entrées à 2,40 € ou 3 €, une des deux pizzas à 5 € ou 5,60 € et une des deux boissons à 0,80 € ou 1,40 €. On décide de choisir au hasard une entrée, une pizza et une boisson. Soit X la variable aléatoire égale au prix que l'on doit payer.

1. Déterminer X(Ω) et la loi de probabilité de X.

2. Quelle est la probabilité que l'on paie moins de 9 € ?

conseils

1. Faire un arbre de probabilité, puis dresser un tableau.

2. Si l'on paie moins de 9 €, quelles sont les sommes que l'on peut payer ?

solution

1. L'arbre suivant montre que X(Ω) = {8,2 ; 8,8 ; 9,4 ; 10}.

Le principe multiplicatif conduit au tableau suivant qui résume la loi de probabilité de X

x	8,2	8,8	9,4	10
P(X = x)	${\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$	$3\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{3}{8}$	$3\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{3}{8}$	${\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$

Par exemple, on constate qu'on peut obtenir 8,8 en suivant trois chemins :

2,4 – 5 – 1,4 ; 2,4 – 5,6 – 0,8 et 3 – 5 – 0,8.

2. On cherche P(X < 9). On voit que si on paie moins de 9 €, on paie obligatoirement 8,2 € ou 8,8 €.

Donc $P(X<9)=P(X=\mathrm{8,2})+P(X=\mathrm{8,8})=\frac{1}{8}+\frac{3}{8}=\frac{4}{8}=\frac{\text{1}}{\text{2}}$.