Fiche de révision

Définition et propriétés analytiques de la fonction logarithme népérien

Contenu


La fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle étudiée en Première.

I Définition et notations

Définition : La fonction exponentielle vue en Première, notée exp, est l'unique fonction dérivable sur de dérivée elle-même, et qui prend la valeur 1 en 0.

Définition : La fonction logarithme népérien, notée ln est la fonction définie sur 0;+ par :

pour tout x]0 ; +[,  lnx=yx=ey

Conséquences :

Pour tout réel x strictement positif, elnx=x.

Pour tout réel y, ln(ey)=y.

On a en particulier ln1=0 et lne=1.

II Propriétés analytiques

La fonction ln est dérivable sur 0;+, et pour tout x0;+ :

ln(x)=1x

La fonction ln est strictement croissante sur 0;+.

limx0+lnx= et limx+lnx=+.

À noter

Pour toute fonction u strictement positive et dérivable sur un intervalle I, la fonction lnu est dérivable sur I et lnu=uu.

III Tableau de variations et courbe

PB_Bac_06468_MathT_gene_p183-210_C08_Groupe_Schema_206468_C08_01

À noter

Les courbes représentatives des fonctions exp et ln sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=x.

Méthode

Étudier une fonction contenant des logarithmes

Étudier la fonction f définie par f(x)=ln(1+ex).

Conseils

Étape 1 Déterminez l'ensemble de définition de f.

Étape 2 Étudiez la dérivabilité de f et déterminez sa fonction dérivée.

Étape 3 Déduisez-en les variations de f sur son domaine de définition.

Étape 4 Étudiez les limites de f aux bornes de son domaine de définition.

Étape 5 Dressez le tableau de variations de f.

Solution

Étape 1 La fonction ln est définie sur ]0 ; +[. Or, pour tout réel x, ex>0 donc 1+ex>0. Donc f est définie sur .

Étape 2 Comme composée de fonctions dérivables, f est dérivable sur ().

f est de la forme lnu avec u(x)=1+ex, pour tout réel x. Or (lnu)=uu, avec u(x)=ex.

Donc pour tout réel x, fx=ex1+ex.

Étape 3 La fonction exponentielle est strictement positive, d'où ex1+ex>0 et f(x)0 pour tout réel x. Donc f est strictement décroissante sur .

Étape 4 On sait que limx(ex)=+, donc limx(1+ex)=+.

Or limX+lnX=+, donc, par composition, limxfx=+.

On sait que limx+(ex)=0, donc limx+(1+ex)=1. Or limX1lnX=ln1=0, donc, par composition, limx+fx=0.

Étape 5

PB_Bac_06468_MathT_gene_p183-210_C08_Groupe_Schema_0

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