Méthode

Étudier une fonction contenant des logarithmes

Étudier la fonction f définie par $f\left(x\right)=\ln \left(1+{\mathrm{e}}^{-x}\right)$.

Solution

Étape 1 La fonction ln est définie sur $\left]0;+\text{}\infty \right[$. Or, pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ donc $1+{\mathrm{e}}^{-x}>0$. Donc f est définie sur $\text{ℝ}$.

Étape 2 Comme composée de fonctions dérivables, f est dérivable sur $\text{ℝ}$ ().

f est de la forme $\ln u$ avec $u\left(x\right)=1+{\mathrm{e}}^{-x}$, pour tout réel x. Or ${\left(\ln u\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$, avec $u^{\prime }\left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}$.

Donc pour tout réel x, $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{-{\mathrm{e}}^{-x}}{1+{\mathrm{e}}^{-x}}$.

Étape 3 La fonction exponentielle est strictement positive, d'où $\frac{{\text{e}}^{-x}}{1+{\text{e}}^{-x}}>0$ et $f^{\prime }\left(x\right)0$ pour tout réel x. Donc f est strictement décroissante sur $\text{ℝ}$.

Étape 4 On sait que $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left({\text{e}}^{-x}\right)=+\infty$, donc $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(1+{\mathrm{e}}^{-x}\right)=+\infty$.

Or $\underset{X\to +\infty }{\lim }\ln X=+\infty$, donc, par composition, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

On sait que $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left({\text{e}}^{-x}\right)=0$, donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1+{\mathrm{e}}^{-x}\right)=1$. Or $\underset{X\to 1}{\lim }\ln X=\ln 1=0$, donc, par composition, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$.

Étape 5