Définitions : angle géométrique et angle orienté (1re)

A Mesure d'un angle géométrique

Lors de l'étude de figures géométriques, les angles géométriques jouent un rôle très important.

Unités de mesure

Les deux principales unités de mesure sont :

• le degré (un angle plat a pour mesure 180 degrés) ;

• le radian (un arc de cercle de mesure un radian a même longueur que le rayon du cercle et un angle plat a pour mesure π radians).

En topographie, pour les plans de terrain, les cartes, on utilise le grade (un angle plat a pour mesure 200 grades).

L'angle géométrique $\widehat{\text{AOB}}$ peut permettre de définir l'arc AB intercepté sur un cercle de centre O.

Conversion

Si les mesures en radians, degrés, grades d'un même angle (ou d'un même arc) sont respectivement a, b, c, elles se déduisent les unes des autres par les relations :

$\frac{a}{\pi }=\frac{b}{180}=\frac{c}{200}$. En particulier, on a :

B Mesure d'un angle (d'un arc) orienté

La notion d'angle géométrique est insuffisante pour étudier certains phénomènes comme la rotation d'un arbre moteur en mécanique : d'une part, on doit considérer des angles correspondant à plusieurs tours, donc supérieurs à 2π radians ou 360° et, d'autre part, on doit distinguer les deux sens possibles de rotation (marche avant, marche arrière). Aussi est-on amené à considérer des angles orientés.

Cercle trigonométrique

On appelle cercle trigonométrique dans le plan muni du repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ le cercle de centre O, de rayon 1, pour lequel on choisit pour sens direct le sens inverse des aiguilles d'une montre.

$\overrightarrow{\text{OA}}=\overrightarrow{i}\overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{j}$

Tout point M de cercle définit donc un angle orienté noté $(\overrightarrow{\text{OA}},\overrightarrow{\text{OM}})$ et un arc orienté : AM.

Correspondance entre les nombres réels et les points du cercle

À tout point m de l'axe du repère $(\text{A},\overrightarrow{\text{OB}})$ est associé un nombre réel x (l'abscisse de m). Le point m est l'image du réel x.

On matérialise la droite Δ par une ficelle. Si on enroule cette ficelle autour du cercle  en respectant les sens positifs sur l'axe Δ et le cercle trigonométrique , l'image de tout nombre réel vient coïncider avec un point du cercle.

L'image du nombre 0 coïncide avec le point A, l'image du nombre π avec le point A′… Les images de π + 2π, π + 4π, … π + k2π (k entier relatif quelconque) viennent coïncider avec A', puisque la longueur du cercle est 2π.

Plus généralement, si le nombre réel x est associé au point M du cercle , les réels x + 2π, … x + k2π (k nombre entier relatif quelconque) sont associés au même point M dans l'enroulement.

On établit ainsi une correspondance entre les nombres réels et les points du cercle trigonométrique .

Mesures d'un angle orienté (d'un arc orienté)

On appelle mesure de l'angle orienté $(\overrightarrow{\text{OA}},\overrightarrow{\text{OM}})$ (de l'arc orienté AM) l'un quelconque des nombres réels associés au point M dans « l'enroulement ».

Un angle, un arc, possèdent une infinité de mesures : si x est l'une d'entre elles, les autres sont de la forme : x + k2π (k nombre entier relatif quelconque).

Mesure principale

Parmi les mesures d'un angle orienté (ou d'un arc orienté) il en existe une, et une seule, appelée mesure principale, appartenant à l'intervalle ]– π, π].