Étudier la limite d'une suite permet d'avoir une idée de son comportement en l'infini. Pour trouver la limite (si elle existe) d'une suite, une méthode consiste à la comparer aux comportements de suites que l'on connait.

I Suites de limites finie et infinie

1 Limite infinie

Soient A et B des réels.

On dit qu'une suite u admet pour limite $+ \infty$ si tout intervalle de la forme $[A; + \infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

On note $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ et on dit que la suite diverge vers $+ \infty$ .

On dit qu'une suite u admet pour limite $- \infty$ si tout intervalle de la forme $]- \infty; B]$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

On note $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = - \infty$ et on dit que la suite diverge vers −∞.

À noter

La suite de terme général $u_{n}$ admet pour limite $- \infty$ si et seulement si la suite de terme général $- u_{n}$ admet pour limite $+ \infty$ .

2 Limite finie

Soit $l$ un réel.

On dit qu'une suite u admet pour limite $l$ si tout intervalle ouvert contenant $l$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

On note $lim_{n \to + \infty} u_{n} = l$ et on dit que la suite converge vers $l$ .

II Comparaison et encadrement

Théorème de comparaison

Soit N un entier naturel et soient $(u_{n})$ et $(r_{n})$ des suites réelles.

Si pour tout entier $n \geq N$ , $u_{n} \geq r_{n}$ et $\lim_{n \to + \infty} r_{n} = + \infty$ , alors $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ .

Si pour tout entier $n \geq N$ , $u_{n} \leq r_{n}$ et $\lim_{n \to + \infty} r_{n} = - \infty$ , alors $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = - \infty$ .

Théorème d'encadrement (dit « théorème des gendarmes »)

Soient $l$ un réel, $N$ un entier naturel, et $(u_{n})$ , $(r_{n})$ et $(s_{n})$ des suites réelles.

Si pour tout entier $n \geq N$ , $s_{n} \leq u_{n} \leq r_{n}$ et si $\lim_{n \to + \infty} s_{n} = l$ et $\lim_{n \to + \infty} r_{n} = l$ , alors $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = l$ .

À noter

Pour démontrer qu'une suite diverge vers $+ \infty$ ou $- \infty$ , il est inutile d'encadrer les termes de la suite car un théorème de comparaison suffit.

Méthodes

1 Déterminer la limite d'une suite par comparaison

Déterminer la limite de la suite de terme général $u_{n} = n + {(- 1)}^{n}$ .

Conseils

Pensez à encadrer ${(- 1)}^{n}$ pour déterminer la limite de $(u_{n})$ .

Solution

Pour tout entier naturel n, $- 1 \leq {(- 1)}^{n} \leq 1$ . Donc $n - 1 \leq u_{n}$ .

Or $lim_{n \to + \infty} (n - 1) = + \infty$ donc $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ .

2 Déterminer la limite d'une suite par encadrement

Déterminer la limite des suites de termes généraux $u_{n}$ et $s_{n}$ , avec $u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} - n}{n}$ et $s_{n} = \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{2} + 1} + \dots + \frac{1}{n^{2} + n}$ .

Conseils

Encadrez le numérateur de $u_{n}$ . Pour $s_{n}$ , remarquez que chacun des $n + 1$ termes de la somme est compris entre $\frac{1}{n^{2} + n}$ et $\frac{1}{n^{2}}$ .

Solution

Pour tout entier naturel n, on a $- 1 \leq {(- 1)}^{n} \leq 1$ .

Donc $- 1 - n \leq {(- 1)}^{n} - n \leq 1 - n$ , puis $\frac{- 1 - n}{n} \leq u_{n} \leq \frac{1 - n}{n}$ .

On a $\frac{- 1 - n}{n} = - \frac{1}{n} - 1$ et $\frac{1 - n}{n} = \frac{1}{n} - 1$ .

Or $\lim_{n \to + \infty} \frac{- 1 - n}{n} = - 1$ et $\lim_{n \to + \infty} \frac{1 - n}{n} = - 1$ .

Donc $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = - 1$ .

Pour tout entier naturel n non nul,

$\frac{1}{n^{2} + n} + \frac{1}{n^{2} + n} + \dots + \frac{1}{n^{2} + n} \leq \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{2} + 1} + \dots + \frac{1}{n^{2} + n} \leq \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}}$ ,

donc $\frac{n + 1}{n^{2} + n} \leq s_{n} \leq \frac{n + 1}{n^{2}}$ d'où $\frac{1}{n + 1} \leq s_{n} \leq \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}$ .

Or $\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n + 1} = 0$ et $\lim_{n \to + \infty} (\frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}) = 0$ .

Donc $\lim_{n \to + \infty} s_{n} = 0$ .

Définitions, comparaison et encadrement

I Suites de limites finie et infinie

1 Limite infinie

À noter

2 Limite finie

II Comparaison et encadrement

À noter

Méthodes

1 Déterminer la limite d'une suite par comparaison

Conseils

Solution

2 Déterminer la limite d'une suite par encadrement

Conseils

Solution

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