Fiche de révision

Définitions, comparaison et encadrement

Contenu


Étudier la limite d'une suite permet d'avoir une idée de son comportement en l'infini. Pour trouver la limite (si elle existe) d'une suite, une méthode consiste à la comparer aux comportements de suites que l'on connait.

I Suites de limites finie et infinie

1 Limite infinie

Soient A et B des réels.

On dit qu'une suite u admet pour limite + si tout intervalle de la forme A;+ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

On note limn+un=+ et on dit que la suite diverge vers +.

On dit qu'une suite u admet pour limite si tout intervalle de la forme ;B contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

On note limn+un= et on dit que la suite diverge vers .

À noter

La suite de terme général un admet pour limite si et seulement si la suite de terme général un admet pour limite +.

2 Limite finie

Soit l un réel.

On dit qu'une suite u admet pour limite l si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

On note limn+un=l et on dit que la suite converge vers l.

II Comparaison et encadrement

Théorème de comparaison

Soit N un entier naturel et soient un et rn des suites réelles.

Si pour tout entier nN, unrn et limn+rn=+, alors limn+un=+.

Si pour tout entier nN, unrn et limn+rn=, alors limn+un=.

Théorème d'encadrement (dit « théorème des gendarmes »)

Soient l un réel, N un entier naturel, et un, rn et sn des suites réelles.

Si pour tout entier nN, snunrn et si limn+sn=l et limn+rn=l, alors limn+un=l.

À noter

Pour démontrer qu'une suite diverge vers + ou , il est inutile d'encadrer les termes de la suite car un théorème de comparaison suffit.

Méthodes

1 Déterminer la limite d'une suite par comparaison

Déterminer la limite de la suite de terme général un=n+1n.

Conseils

Pensez à encadrer 1n pour déterminer la limite de un.

Solution

Pour tout entier naturel n, 11n1. Donc n1un.

Or limn+n1=+ donclimn+un=+.

2 Déterminer la limite d'une suite par encadrement

Déterminer la limite des suites de termes généraux un et sn, avec un=1nnn et sn=1n2+1n2+1++1n2+n.

Conseils

Encadrez le numérateur de un. Pour sn, remarquez que chacun des n+1 termes de la somme est compris entre 1n2+n et 1n2.

Solution

Pour tout entier naturel n, on a 11n1.

Donc 1n1nn1n, puis 1nnun1nn.

On a 1nn=1n1 et 1nn=1n1.

Or limn+1nn=1 et limn+1nn=1.

Donclimn+un=1.

Pour tout entier naturel n non nul,

1n2+n+1n2+n++1n2+n1n2+1n2+1++1n2+n1n2+1n2++1n2,

donc n+1n2+nsnn+1n2 d'où 1n+1sn1n+1n2.

Or limn+1n+1=0 et limn+1n+1n2=0.

Donc limn+sn=0.

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