Définitions, comparaison et encadrement

Merci !

Fiches
Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Suites


Étudier la limite d’une suite permet d’avoir une idée de son comportement en l’infini. Pour trouver la limite (si elle existe) d’une suite, une méthode consiste à la comparer aux comportements de suites que l’on connait.

I Suites de limites finie et infinie

1 Limite infinie

Soient A et B des réels.

On dit qu’une suite u admet pour limite + si tout intervalle de la forme A;+ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

On note limn+un=+ et on dit que la suite diverge vers +.

On dit qu’une suite u admet pour limite si tout intervalle de la forme ;B contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

On note limn+un= et on dit que la suite diverge vers .

À noter

La suite de terme général un admet pour limite si et seulement si la suite de terme général un admet pour limite +.

2 Limite finie

Soit l un réel.

On dit qu’une suite u admet pour limite l si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

On note limn+un=l et on dit que la suite converge vers l.

II Comparaison et encadrement

Théorème de comparaison

Soit N un entier naturel et soient un et rn des suites réelles.

Si pour tout entier nN, unrn et limn+rn=+, alors limn+un=+.

Si pour tout entier nN, unrn et limn+rn=, alors limn+un=.

Théorème d’encadrement (dit « théorème des gendarmes »)

Soient l un réel, N un entier naturel, et un, rn et sn des suites réelles.

Si pour tout entier nN, snunrn et si limn+sn=l et limn+rn=l, alors limn+un=l.

À noter

Pour démontrer qu’une suite diverge vers + ou , il est inutile d’encadrer les termes de la suite car un théorème de comparaison suffit.

Méthodes

1 Déterminer la limite d’une suite par comparaison

Déterminer la limite de la suite de terme général un=n+1n.

Conseils

Pensez à encadrer 1n pour déterminer la limite de un.

Solution

Pour tout entier naturel n, 11n1. Donc n1un.

Or limn+n1=+ donclimn+un=+.

2 Déterminer la limite d’une suite par encadrement

Déterminer la limite des suites de termes généraux un et sn, avec un=1nnn et sn=1n2+1n2+1++1n2+n.

Conseils

Encadrez le numérateur de un. Pour sn, remarquez que chacun des n+1 termes de la somme est compris entre 1n2+n et 1n2.

Solution

Pour tout entier naturel n, on a 11n1.

Donc 1n1nn1n, puis 1nnun1nn.

On a 1nn=1n1 et 1nn=1n1.

Or limn+1nn=1 et limn+1nn=1.

Donclimn+un=1.

Pour tout entier naturel n non nul,

1n2+n+1n2+n++1n2+n1n2+1n2+1++1n2+n1n2+1n2++1n2,

donc n+1n2+nsnn+1n2 d’où 1n+1sn1n+1n2.

Or limn+1n+1=0 et limn+1n+1n2=0.

Donc limn+sn=0.