Définitions et propriétés algébriques

1 Simplifier ou transformer une expression

On pose $A=\frac{{\text{e}}^{–2}–{\text{e}}^3}{\text{e}}$ et, pour tout réel x, $f(x)=\frac{{\text{e}}^x–{\text{e}}^{–x}}{{\text{e}}^x+{\text{e}}^{–x}}$.

Montrer que A est un entier et que pour tout réel x, $f(x)=\frac{{\text{e}}^{2x}–1}{{\text{e}}^{2x}+1}$.

solution

On a $\frac{{\text{e}}^{–2}–{\text{e}}^3}{\text{e}}={\text{e}}^{–2+3–1}$. Donc A = e0, soit A = 1.

Pour tout réel x, comme ex ≠ 0, on a :

$f(x)=\frac{{\text{e}}^x–{\text{e}}^{–x}}{{\text{e}}^x+{\text{e}}^{–x}}–\frac{{\text{e}}^x}{{\text{e}}^x}$ $=\frac{{\text{e}}^{x+x}–{\text{e}}^{–x+x}}{{\text{e}}^{x+x}+{\text{e}}^{–x+x}}$ $=\frac{{\text{e}}^{\text{2x}}\text{–1}}{{\text{e}}^{\text{2x}}\text{+1}}$.

Remarque : On peut aussi remarquer que ${\text{e}}^{–x}=\frac{1}{{\text{e}}^x}$, réduire au même dénominateur les termes du quotient puis simplifier.

2 Montrer qu'une suite définie par une exponentielle est géométrique

On considère les suites de termes généraux un = e–n, vn = e3n+1 et $w_n={\text{e}}^{\mathrm{0,5}{n}^2}$.

Déterminer parmi ces suites celles qui sont géométriques. En donner le cas échéant la raison et le premier terme.

solution

On a, pour tout n ∊ ℕ, $u_n=\frac{1}{{\text{e}}^n}={\left(\frac{1}{\text{e}}\right)}^n$, en particulier u0 = e0 = 1, donc la suite (un) est géométrique de raison $\frac{\text{1}}{\text{e}}$ et de premier terme 1.

On a, pour tout n ∊ ℕ, vn = e × e3n = e × (e3)n et v0 = e × e3 × 0 = e. Donc la suite (vn) est géométrique de raison e3 et de premier terme e.

On a w0 = e0 = 1 ; w1 = e0,5 et w2 = e0,5 × 4 = e2 ; donc $\frac{w_1}{w_0}={\text{e}}^{\mathrm{0,5}}$ et $\frac{w_2}{w_1}={\text{e}}^{\mathrm{1,5}}$. Comme $\frac{w_2}{w_1}\ne \frac{w_1}{w_0}$, la suite (wn) n'est donc pas géométrique.