En bref Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés. En fonction de ses propriétés, il porte un nom particulier : parallélogramme, rectangle, losange, carré.

ILe parallélogramme

Un quadrilatère est un parallélogramme s'il possède une de ces propriétés :

ses côtés opposés sont parallèles ;

ses côtés opposés ont la même longueur ;

ses diagonales ont le même milieu.

IILes parallélogrammes particuliers

1 Le rectangle

Un quadrilatère est un rectangle s'il possède une de ces propriétés :

il a trois angles droits ;

c'est un parallélogramme qui a un angle droit ;

c'est un parallélogramme qui a ses diagonales de même longueur.

2 Le losange

Un quadrilatère est un losange s'il possède une de ces propriétés :

il a quatre côtés de même longueur ;

c'est un parallélogramme avec deux côtés consécutifs de même longueur ;

c'est un parallélogramme qui a ses diagonales perpendiculaires.

3 Le carré

Un quadrilatère est un carré s'il est à la fois un rectangle et un losange.

Méthode

Démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle

1 Tracer un triangle OBC rectangle en O. Soit I le milieu du segment [BC]. Construire le point A, symétrique de O par rapport à I.

2 Démontrer que le quadrilatère ABOC est un rectangle.

Conseils

1 « A est le symétrique de O par rapport à I » signifie que I est le milieu du segment [AO].

2 Démontre d'abord que ABOC est un parallélogramme. Pour cela, démontre que ses diagonales ont le même milieu.

Solution

1 On obtient la figure ci-dessous.

2 Les points A et O sont symétriques par rapport au point I, donc I est le milieu du segment [AO].

On sait aussi que I est le milieu du segment [BC]. Les diagonales du quadrilatère ABOC ont le même milieu, donc ABOC est un parallélogramme.

De plus, le triangle OBC est rectangle en O, donc l'angle $\widehat{\text{BOC}}$ est un angle droit.

ABOC est un parallélogramme ayant un angle droit, c'est un rectangle.