En bref Le théorème de Thalès possède une réciproque qui permet de démontrer le parallélisme ou le non-parallélisme de deux droites. Pour cela, tu devras calculer des rapports et regarder s'ils sont égaux.

ILa réciproque du théorème de Thalès

Soit deux droites $D$ et $D$′ sécantes en A. Soit B et M deux points de $D$ distincts de A. Soit C et N deux points de $D$′ distincts de A.

Si $\frac{\text{AM}}{\text{AB}}=\frac{\text{AN}}{\text{AC}}$ et si les points A, B, M d'une part, et A, C, N d'autre part sont alignés dans cet ordre, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

Exemple : Avec les données de la figure ­ci-contre, on veut montrer que les droites (CR) et (SE) sont parallèles.

On a $\frac{\text{OC}}{\text{OE}}=\frac{\text{2}}{\text{5}}=\mathrm{0,4}$ et $\frac{\text{OR}}{\text{OS}}=\frac{3,\text{2}}{\text{8}}=\mathrm{0,4}$.

On a donc $\frac{\text{OC}}{\text{OE}}=\frac{\text{OR}}{\text{OS}}$.

De plus, les points C, O, E d'une part, et les points R, O, S d'autre part sont alignés dans cet ordre. D'après la réciproque du théorème de ­Thalès, les droites (CR) et (SE) sont parallèles.

IIDémontrer que deux droites sont parallèles

Pour démontrer que deux droites sont parallèles, on peut :

Utiliser la réciproque du théorème de Thalès.

Démontrer que les deux droites définissent deux angles alternes-internes égaux.

Les angles alternes-internes sont égaux : $D$₁ // $D$₂.

Les angles alternes-internes ne sont pas égaux : $D$₁ et $D$₂ ne sont pas parallèles.

Méthodes

1 Démontrer que deux droites sont parallèles à l'aide de la réciproque de Thalès

Sur la figure ci-contre, on a OD = 4 cm ; OC = 5 cm ; AC = 3 cm ; AB = 6 cm et BD = 2,4 cm. (La figure n'est pas en vraie grandeur.)

Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Conseils

Afin d'appliquer la réciproque du théorème de Thalès, tu dois calculer les longueurs OA et OB du triangle OAB.

Ensuite, calcule séparément deux rapports et montre qu'ils donnent la même valeur.

Solution

On commence par calculer les longueurs OA et OB. On a :

OA = OC + AC = 5 + 3 = 8 cm et OB = OD + BD = 4 + 2,4 = 6,4 cm.

On a $\frac{\text{OC}}{\text{OA}}=\frac{\text{5}}{\text{8}}=\mathrm{0,625}$ et $\frac{\text{OD}}{\text{OB}}=\frac{\text{4}}{\text{6,4}}=\mathrm{0,625}$. On a donc $\frac{\text{OC}}{\text{OA}}=\frac{\text{OD}}{\text{OB}}$.

De plus, les points O, C, A d'une part, et les points O, D, B d'autre part sont alignés dans cet ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

2 Démontrer que deux droites sont non-parallèles à l'aide des angles alternes-internes

En utilisant le codage de la figure ci-contre, démontrer que les droites $D$₁ et $D$₂ ne sont pas parallèles.

Solution

Calculons l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ :

$\widehat{\text{BAC}}+\widehat{\text{BAE}}=180°$

$\widehat{\text{BAC}}=180°-137°$

$\widehat{\text{BAC}}=43°$.

Les angles alternes-internes $\widehat{\text{DBA}}$ et $\widehat{\text{BAC}}$ ne sont pas égaux, donc les droites $D$₁ et $D$₂ ne sont pas parallèles.