Terminale générale Maths complémentaires Lois continues

Lorsqu'une variable aléatoire est continue, on calcule non pas la probabilité d'apparition d'une valeur donnée, mais celle de tomber dans un intervalle de valeurs.

I Densité de probabilité

Définition : Une densité de probabilité est une fonction f définie sur ℝ, positive, continue par morceaux et telle que $\int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) d t = 1$ .

Définition : Une fonction continue par morceaux est une fonction qui est continue sauf en un nombre fini de points.

Calcul de l'intégrale : Soit a un nombre quelconque, si $\lim_{x \to + \infty} \int_{a}^{x} f (t) d t$ existe et est finie, de valeur ℓ₁ et si $\lim_{x \to - \infty} \int_{x}^{a} f (t) d t$ existe et est finie de valeur ℓ₂ alors $\int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) d t = ℓ_{1} + ℓ_{2}$ .

Graphiquement, l'aire comprise entre la courbe et l'axe des abscisses est égale à 1.

II Loi d'une variable aléatoire continue

Définition : Soit f une densité de probabilité. Dire qu'une variable aléatoire X a pour loi la densité f signifie que pour tout x ∈ ℝ :

$P (X ⩽ x) = P (X x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t$

Dans ce cas on dit que X est une variable aléatoire continue.

Définition : La fonction F : x ↦ P(X ≤ x) s'appelle la fonction de répartition de X.

$P (a ⩽ X ⩽ b) = P (a X b) = F (b) - F (a) = \int_{a}^{b} f (t) d t$

En effet, P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X a) = F(b) − F(a) et

$P (a ⩽ X ⩽ b) = \int_{- \infty}^{b} f (t) d t - \int_{- \infty}^{a} f (t) d t = \int_{- \infty}^{a} f (t) d t + \int_{a}^{b} f (t) d t - \int_{- \infty}^{a} f (t) d t = \int_{a}^{b} f (t) d t .$

Méthode

Reconnaître une densité de probabilité

1. Soit f la fonction définie par $f (x) = \frac{k}{x^{2}}$ si x ∈ [1 ; 5] et f(x) = 0 si x ∉ [1 ; 5].

a. Tracer sommairement la représentation graphique de f pour $k = \frac{1}{4}$ .

b. Déterminer k pour que f soit une densité de probabilité.

2. Mêmes questions pour $f (x) = \frac{k}{x^{2}}$ si x ∈ [1 ; +∞[ et f(x) = 0 sinon.

conseils

1. et 2.f doit vérifier toutes les conditions que doit remplir une densité de probabilité.

solution

1.a. Figure ci-contre. 06462_chap08_fiche21_i03

b.f est visiblement positive (produit d'un carré par un nombre positif) ; elle est continue par morceaux (il y a une coupure aux points d'abscisses 1 et 5).

De plus $\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = \int_{1}^{5} \frac{k}{x^{2}} d x = k {[- \frac{1}{x}]}_{1}^{5} = k (1 - \frac{1}{5}) = \frac{4 k}{5}$ .

Pour que $\frac{4 k}{5} = 1$ , il faut et il suffit que $\frac{4 k}{5} = 1$ c'est-à-dire $k = \frac{5}{4}$ .

2. Figure ci-contre. 06462_chap08_fiche21_i04

Comme précédemment, f est positive et continue par morceaux et :

_{$\int_{1}^{x} \frac{k}{t^{2}} d t = k {[- \frac{1}{t}]}_{1}^{x} = k (1 - \frac{1}{x})$}.

De plus $\lim_{x \to + \infty} \int_{1}^{x} \frac{k}{t^{2}} d t = \lim_{x \to + \infty} k (1 - \frac{1}{x}) = k$ car $\lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x} = 0.$

On en déduit que $\int_{1}^{+ \infty} \frac{k}{t^{2}} d t = k$ . Par conséquent il suffit de choisir k = 1 pour que f soit une densité de probabilité.

Densité de probabilité et variables aléatoires continues