Dérivation

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Classe(s) : Tle STMG | Thème(s) : Dérivation

Dérivation

1Nombre dérivé ; fonction dérivée

A Définitions

Définition et notation du nombre dérivé

Soit f une fonction dont la courbe représentative a une tangente au point d’abscisse a.

• Le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de cette tangente.

• Le nombre dérivé de f en a est noté f'(a).

Définition de fonction dérivable et de fonction dérivée

• Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si, et seulement si f admet un nombre dérivé en tout point de I.

• La fonction qui, à tout x de I, associe le nombre dérivé de f en x s’appelle fonction dérivée de f et se note f'.

B Dérivées des fonctions usuelles

Le tableau suivant, dans lequel la variable est x, donne les résultats « à savoir ».

k est une constante.

n est un nombre entier naturel non nul : 1, 2, 3, 4, …

Attention au signe –.

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C Opérations sur les fonctions dérivables

Dans ce qui suit, u et v sont deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle I.

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On utilise , et

Exemples

Soit f la fonction définie sur [1, 10] par : f(x)=x+1x ;

pour tout x de [1, 10], f'(x)=11x2.

On utilise et le 1°

Soit f la fonction définie sur ]0, + ∞[ par : g(x)=34x+1x ;

pour tout x de ]0, + ∞[, g'(x)=3411x2

On utilise , et

Soit i la fonction définie sur par : h(x) = 4x3 – 7x2 + 2x + 7 ;

pour tout x de , h'(x) = 4(3x2) – 7 (2x) + 2 ; h'(x) = 12x2 – 14x + 2.

Soit k la fonction définie sur [0, 10] par : i(x)=2x+13x+4.

On utilise et

Pour tout x de [0, 10], i'(x)=(2)(3x+4)(2x+1)(3)(3x+4)2 ; i'(x)=5(3x+4)2.

2Applications de la dérivation

A Sens de variation d’une fonction

Si f est dérivable sur l’intervalle I et si la dérivée f' est nulle sur I, alors f est constante sur I.

Si f est dérivable sur l’intervalle I et si la dérivée f' est positive sur I, alors f est croissante sur I.

Si f est dérivable sur l’intervalle I et si la dérivée f' est négative sur I, alors f est décroissante sur I.

B Recherche d’extremum

Un extremum est un minimum ou un maximum.

théorème

Si f est dérivable sur l’intervalle I et admet un maximum local (ou un minimum local) en un point a distinct des extrémités de I, alors f'(a) = 0.

Au point M0 correspondant à un extremum, la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.

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C Équation de la tangente en un point à la courbe représentative de f

Soit A un point de la représentation graphique C d’une fonction f.

Une équation de la tangente en A à la courbe C est : yf'(xA)(xxA) + f(xA).

Exemple

Soit f la fonction définie sur par f(x) = 2x2x – 1.

On se propose de déterminer une équation de la tangente à la courbe C au point d’abscisse a = 1.

Une équation de la tangente est donc : yf'(1) (x – 1) + f(1).

f(1) = 2 – 1 – 1 = 0.

Pour calculer f'(1) il faut d’abord déterminer f'(x).

Pour tout x de , f'(x) = 2(2x) – 1, f'(x) = 4x – 1. D’où f'(1) = 3.

L’équation de la tangente est donc : y = 3(x – 1) + 0 ; y = 3x – 3.

D Tracer la tangente à la courbe représentative de f en un de ses points

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À partir du point donné A(xA, yA) où yA = f(xA), on obtient un deuxième point B de la tangente d en ajoutant 1 à l’abscisse de A et f'(xA) à l’ordonnée de A : xB = xA + 1 et yB = yA + f'(xA).

On n’a pas besoin de l’équation d’une tangente pour la tracer.

f(xA) peut être négatif :

pour f(x) = – x2 et xA = 1, on a f’(x) = – 2x, donc f’(xA) = – 2.

Alors xB = 2 et yB = yA – 2,

yB = – 1 – 2 = – 3.

Exemple

Sur la figure, on a A(1, 1) et f(xA) = 2, donc B(xA + 1, yA + f(xA)) B(2, 3).

E Étudier les variations d’une fonction et construire sa courbe représentative

Étude des variations et courbe représentative

Énoncé

Le plan muni du repère orthonormé (O ; i,j). L’unité graphique est 1 cm.

Étudier les variations de la fonction f définie sur [0, 3] par f(x) = x3 – 3x2 + 1.

Construire sa courbe représentative 𝒞.

Méthode

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solution

Étude des variations

• Pour tout x appartenant à [0, 3], f'(x) = 3x2 – 3(2x) + 0, f'(x) = 3x2 – 6x, f'(x) = 3x(x – 2).

Étude du signe de f'(x)

Pour obtenir le signe de f'(x), on utilise les résultats de 1re STMG sur le signe du trinôme rappelés au paragraphe de ce chapitre.

Lorsque x varie dans [0, 3], le signe de f'(x) = 3x(x – 2) est donné par le tableau :

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On peut alors remplir le tableau de variation.

Lorsque x varie dans , 3x2 – 6x est du signe du coefficient de x2, + 3, « à l’extérieur des racines » c’est-à-dire lorsque x < 0 et x > 2.

Tableau de variation

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La dernière ligne du tableau de variation donne une première idée de l’allure de la courbe représentative de f.

Courbe représentative

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On place d’abord les points A(0, 1) et S(2, – 3) avec leurs tangentes parallèles à l’axe des abscisses, ainsi que B(3, 1). Puis on détermine les coordonnées de quelques points avec une calculatrice et on trace la courbe C.

f’(1) = 0 et f'(2) = 0. Aux points d’abscisses 0 et 2, la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.

3Utiliser une calculatrice pour étudier une fonction

Exemple

Une entreprise fabrique un certain type de matériel pour les robots utilisés dans l’industrie automobile. Chaque jour, elle produit un nombre x de matériels, x étant compris entre 0 et 70.

Le coût, exprimé en euros, de la production journalière de x microscopes est donné par :

f(x) = x3 – 90x2 + 2 700x.

On suppose que toute la production est vendue au prix de 900 € l’unité. La recette journalière totale, exprimée en euros, est alors donnée par :

g(x) = 900x.

1) Tableau de valeurs

On souhaite compléter le tableau suivant.

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• Calculatrice de marque CASIO

On entre dans le menu des tables en faisant MENU TABLE EXE.

Puis on entre en Y1 et en Y2 les expressions de f(x) et g(x).

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Pour régler la table, faire RANG, puis entrer dans Start la première valeur de x, dans End la dernière valeur de x et dans pitch le pas entre chaque valeur de x.

Faire TABL pour obtenir la table.

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Calculatrice de marque Texas Instruments (instructions en français en bleu)

Pour éditer les fonctions, faire Y= ou f (x) puis, aux lignes Y1 et Y2, entrer les expressions de f(x) et g(x).

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Pour régler la table, faire 2nd TBLSET ou 2nd déf table puis entrer dans TblStart ou Déf Table la première valeur de x et dans ∆Tbl ou PasTable le pas entre chaque valeur de x.

Faire 2nd TABLE pour obtenir le tableau.

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a) On obtient le tableau de valeurs suivant :

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b) L’entreprise dégage un bénéfice lorsque g(x) ≥ f(x). Dans le tableau précédent, cela se produit pour les valeurs suivantes de x : 30, 40, 50, 60.

2) Représentation graphique

On désire réaliser, sur une calculatrice, une représentation graphique des fonctions f et g sur l’intervalle [0, 70].

Calculatrice de marque CASIO

Venir dans le menu de graphiques en faisant MENU GRAPH EXE.

Pour régler la fenêtre, faire SHIFT V-Window puis entrer Xmin et max selon le domaine d’étude, scale correspond au pas de graduation de l’axe. Pour les choix de Ymin et max, on considère les valeurs apparues dans le tableau précédent.

Dans l’écran d’accueil du menu graphique, faire DRAW pour obtenir le tracé.

Pour parcourir la courbe, faire SHIFT Trace puis ou .

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Calculatrice de marque Texas Instruments (instructions en français en bleu)

Pour régler la fenêtre, faire WINDOW ou fenêtre puis entrer Xmin et Xmax selon le domaine d’étude, Xscl ou Xgrad correspond au pas de graduation de l’axe. Pour les choix de Ymin et Ymax, on considère les valeurs apparues dans le tableau précédent.

Faire GRAPH ou graphe pour le tracé et pour parcourir la courbe, faire TRACE ou Trace et ou .

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4Mathématiques et économie

Bénéfice, recette, coût total

Pour q articles fabriqués et vendus, en notant :

R(q) la recette ou chiffre d’affaires ; C(q) le coût total de productions ; B(q) le bénéfice,

on a : B(q) = R(q) – C(q).

Coût marginal

• En notant C(x) le coût total de production de x articles, le coût de production d’un article supplémentaire, C(x + 1) – C(x), est appelé coût marginal au rang x.

• En économie on prend souvent : C(x + 1) – C(x) C’(x).

Coût moyen unitaire

Le coût moyen unitaire d’un article quand on en a fabriqué q est Cm(q)=C(q)q, où C(q) est le coût total de production pour q articles.

5Signe du trinôme (rappel de 1re STMG)

On considère le trinôme f(x) = ax2 + bx + c, où a ≠ 0.

a = b2 – 4ac est le discriminant de ax2 + bx + c.

Dans ce cas, on peut retenir : f(x) est du signe de a, à « l’extérieur » des racines, et du signe contraire de a à « l’intérieur » des racines.

Dans ce cas, on peut retenir : f(x) du signe de a pour tout x ≠ x1.

Dans ce cas, on peut retenir : f(x) du signe de a pour tout x de .

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Application à l’étude du sens de variation d’une fonction

Exemple

Soit f la fonction définie sur [– 2, 2] par :

f(x) = x3x2x + 1.

Pour tout x de [2, 2], f'(x) = 3x2 – 2x – 1.

Les solutions de l’équation f'(x) = 0 sont : 13 et 1.

Le coefficient a, égal à 3, est positif.

Le signe de trinôme 3x2 – 2x – 1, lorsque x varie dans est donné par le tableau :

C’est le cas du tableau précédent.

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D’où le tableau de variation de la fonction f.

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