Dérivation et applications de la dérivation

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Classe(s) : Tle ST2S | Thème(s) : Fonction dérivée. Applications de la dérivation

Dérivation et applications de la dérivation

1Nombre dérivé ; fonction dérivée

A Définitions

Définition et notation du nombre dérivé

Soit f une fonction dont la courbe représentative a une tangente au point d’abscisse a.

• Le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de cette tangente.

Le nombre dérivé de f en a est noté f(a).

Définition de fonction dérivable et de fonction dérivée

• Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si, et seulement si f admet un nombre dérivé en tout point de I.

• La fonction qui, à tout x de I, associe le nombre dérivé de f en x s’appelle fonction dérivée de f et se note f’.

B Dérivées des fonctions usuelles

Le tableau suivant, dans lequel la variable est x, donne les résultats « à savoir ».

* est l’ensemble des nombres entiers strictement positifs.

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C Opérations sur les fonctions dérivables

Dans ce qui suit, u et v sont deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle I.

PB_9782216129331_T_ST2S_04_Maths_Tab_31

Exemples

On utilise , et .

Soit f la fonction définie sur [1, 10] par : f(x)=x+1x ; pour tout x de [1, 10], f'(x)=11x2.

On utilise et le résultat du 1°.

Soit g la fonction définie sur ]0, + ∞[ par : g(x)=34x+1x ; pour tout x de ]0, + ∞[, g'(x)=3411x2.

D Dérivation des fonctions polynômes de degré 2 ou 3

Les résultats ③, ④, ⑤, ⑥, ⑨, ⑩ ci-dessus ont pour conséquence que :

Toute fonction polynôme de degré 2 ou 3 est dérivable sur .

Exemple

On se propose de déterminer la fonction dérivée de la fonction f définie sur par

f(t) = 4t3 – 7t2 + 2t + 7.

La dérivée de t4t3estt4×3t2t7t2estt7×2tt2testt2t7estt0 d’après les résultats du tableau du paragraphe B et ⑩.

Donc f'(t) = 12t2 – 14t + 2 pour tout réel t, d’après ⑨.

2Applications de la dérivation

A Sens de variation d’une fonction

Si f est dérivable sur l’intervalle I et si la dérivée f' est nulle sur I, alors f est constante sur I.

Si f est dérivable sur l’intervalle I et si la dérivée f' est positive sur I, alors f est croissante sur I.

Si f est dérivable sur l’intervalle I et si la dérivée f' est négative sur I, alors f est décroissante sur I.

B Recherche d’extremum

Un extremum est un minimum ou un maximum.

théorème

Si f est dérivable sur l’intervalle I et admet un maximum local (ou un minimum local) en un point a distinct des extrémités de I, alors f'(a) = 0.

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Remarques importantes

La tangente à la courbe représentative d’une fonction au point correspondant à un maximum ou un minimum local est parallèle à l’axe des abscisses.

En un tel point la tangente est souvent représentée, comme sur les deux figures ci-dessus, par un segment limité par deux pointes de flèches.

C Équation de la tangente en un point à la courbe représentative de f

Soit A un point de la représentation graphique C d’une fonction f.

Une équation de la tangente en A à C est : y = f'(xA)(x xA) + f(xA).

Exemple :

Soit f la fonction définie sur par f(x) = 2x2x – 1.

On se propose de déterminer une équation de la tangente à la courbe C au point d’abscisse a = 1.

Une équation de la tangente est donc : yf'(1) (x – 1) + f(1).

f(1) = 2 – 1 – 1 = 0. Pour calculer f'(1) il faut d’abord déterminer f'(x).

Pour tout x de , f'(x) = 2(2x) – 1, f'(x) = 4x – 1. D’où f'(1) = 3.

L’équation de la tangente est donc : y = 3(x – 1) + 0 ; y = 3x – 3.

D Étudier les variations d’une fonction et construire sa courbe représentative

Étude des variations et courbe représentative

Énoncé

Le plan muni du repère orthonormal (O ; i,j). L’unité graphique est 1 cm.

Étudier les variations de la fonction f définie sur [0, 3] par f(x) = x3 – 3x2 + 1.

Construire sa courbe représentative C.

Méthode

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Solution

Étude des variations

Pour tout x appartenant à [0, 3], f’(x) = 3x2 – 3(2x) + 0, f’(x) = 3x2 – 6x, f’(x) = 3x(x – 2).

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Étude du signe de f(x)

Lorsque x varie dans [0, 3], le signe de f’(x) = 3x(x – 2) est donné par le tableau :

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On peut alors remplir le tableau de variation.

Tableau de variation

• La deuxième ligne du tableau de variation est la dernière ligne du tableau donnant le signe de f’(x)

• La dernière ligne du tableau de variation donne une première idée de l’allure de la courbe représentative de f.

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Courbe représentativeMaths_C05_02

On place d’abord les points A(0, 1) et S(2, – 3) avec leurs tangentes parallèles à l’axe des abscisses, ainsi que B (3, 1). Puis on détermine les coordonnées de quelques points avec une calculatrice et on trace la courbe C.

f’(1) = 0 et f’(2) = 0. Aux points d’abscisses 0 et 2, la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.

3Utiliser une calculatrice pour étudier une fonction

Exemple

Une entreprise fabrique un certain type de matériel pour les laboratoires d’analyses biologiques. Chaque jour, elle produit un nombre x de matériels, x étant compris entre 0 et 70.

Le coût, exprimé en euros, de la production journalière de x microscopes est donné par :

f(x) = x3 – 90x2 + 2 700x.

On suppose que toute la production est vendue au prix de 900 € l’unité. La recette journalière totale, exprimée en euros, est alors donnée par :

g(x) = 900x.

1) Tableau de valeurs

On souhaite compléter le tableau suivant.

PB_9782216129331_T_ST2S_04_Maths_Tab_30

• Calculatrice de marque CASIO

On entre dans le menu des tables en faisant MENU TABLE EXE.

Puis on entre en Y1 et en Y2 les expressions de f(x) et g(x).

Maths_C05_03Maths_C05_04

Pour régler la table, faire RANG, puis entrer dans Start la première valeur de x, dans End la dernière valeur de x et dans pitch le pas entre chaque valeur de x.

Faire TABL pour obtenir la table.

Maths_C05_05Maths_C05_06

Calculatrice de marque Texas Instruments (instructions en français en bleu)

Pour éditer les fonctions, faire Y= ou f (x) puis, aux lignes Y1 et Y2, entrer les expressions de f(x) et g(x).

Maths_C05_07Maths_C05_08

Pour régler la table, faire 2nd TBLSET ou 2nd déf table puis entrer dans TblStart ou Déf Table la première valeur de x et dans ∆Tbl ou PasTable le pas entre chaque valeur de x.

Faire 2nd TABLE pour obtenir le tableau.

Maths_C05_09Maths_C05_10

a) On obtient le tableau de valeurs suivant :

PB_9782216129331_T_ST2S_04_Maths_Tab_29

b) L’entreprise dégage un bénéfice lorsque g(x) ≥ f(x). Dans le tableau précédent, cela se produit pour les valeurs suivantes de x : 30, 40, 50, 60.

2) Représentation graphique

On désire réaliser, sur une calculatrice, une représentation graphique des fonctions f et g sur l’intervalle [0, 70].

Calculatrice de marque CASIO

Venir dans le menu de graphiques en faisant MENU GRAPH EXE.

Pour régler la fenêtre, faire SHIFT V-Window puis entrer Xmin et max selon le domaine d’étude, scale correspond au pas de graduation de l’axe. Pour les choix de Ymin et max, on considère les valeurs apparues dans le tableau précédent.

Dans l’écran d’accueil du menu graphique, faire DRAW pour obtenir le tracé.

Pour parcourir la courbe, faire SHIFT Trace puis ou .

Maths_C05_11Maths_C05_13Maths_C05_12

Calculatrice de marque Texas Instruments (instructions en français en bleu)

Pour régler la fenêtre, faire WINDOW ou fenêtre puis entrer Xmin et Xmax selon le domaine d’étude, Xscl ou Xgrad correspond au pas de graduation de l’axe. Pour les choix de Ymin et Ymax, on considère les valeurs apparues dans le tableau précédent.

Faire GRAPH ou graphe pour le tracé et pour parcourir la courbe, faire TRACE ou Trace et ou .

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