Terminale générale Mathématiques Compléments sur la dérivation

Écrire une fonction comme composée de fonctions usuelles permet de simplifier certains calculs, notamment celui des dérivées.

I Composée de deux fonctions

Définition : Soient u et v deux fonctions définies respectivement sur les intervalles I et J telles que, pour tout x de I, $u (x) \in J$ . On appelle composée de u suivie de v la fonction notée $v \circ u$ et définie par : pour tout x de I, $v \circ u (x) = v (u (x))$ .

$v \circ u$ se lit « v rond u ».

Remarque : Cette définition peut être mémorisée à l'aide du schéma suivant :

PB_Bac_06468_MathT_gene_p135-158_C06_Groupe_Schema_0

À noter

Dans la notation $v \circ u$ , il est important de noter que c'est la fonction u qui opère en premier, ce qui justifie l'appellation « u suivie de v ».

Exemple : Soient u et v les fonctions définies sur $ℝ$ par $u (x) = x^{2} + 1$ et $v (x) = 2 x - 4$ . La fonction $v \circ u$ est définie sur $ℝ$ par

$(v \circ u) (x) = v (x^{2} + 1)$ $= 2 (x^{2} + 1) - 4,$ soit $(v \circ u) (x) = 2 x^{2} - 2$ .

II Dérivée d'une composée de deux fonctions

Théorème : Soient u et v deux fonctions définies respectivement sur les intervalles I et J telles que, pour tout x de I, $u (x)$ est dans J.

Soient $x_{0}$ un élément de I et $y_{0} = u (x_{0})$ un élément de J.

Si la fonction u est dérivable en $x_{0}$ et si v est dérivable en $y_{0} = u (x_{0})$ , alors la fonction $v \circ u$ est dérivable en $x_{0}$ et ${(v \circ u)}^{'} (x_{0}) = v^{'} (u (x_{0})) \times u^{'} (x_{0})$ .

À noter

$v \circ u$ est dérivable sur I si $v \circ u$ est dérivable en tout point de I.

Exemple : Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = {(2 x + 1)}^{5}$ .

f est la composée de u suivie de v avec $u (x) = 2 x + 1$ et $v (x) = x^{5}$ .

On a donc $f = v \circ u$ .

u et v sont dérivables sur $ℝ$ et, pour tout x réel, $v^{'} (x) = 5 x^{4}$ et $u^{'} (x) = 2 .$

f est donc dérivable sur $ℝ$ et on a :

$\begin{matrix} f^{'} (x) = {(v \circ u)}^{'} (x) \\ = v^{'} (u (x)) \times u^{'} (x) \\ = 5 {(2 x + 1)}^{4} \times 2 = 10 {(2 x + 1)}^{4} . \end{matrix}$

Méthodes

1 Déterminer une composée de fonctions

Soient u et v les fonctions définies par $v : x \mapsto \sqrt{x}$ et $u : x \mapsto x^{2} - 4$ .

Comparer les fonctions $v \circ u$ et $u \circ v$ .

Conseils

Commencez par déterminer l'ensemble de définition de la composée, c'est-à-dire les valeurs de x pour lesquelles cette composée est définie. Déterminez ensuite l'expression de cette composée.

Solution

La fonction $v \circ u$ est définie si, pour tout x de l'ensemble de définition de u, $u (x)$ est bien dans l'ensemble de définition de v. Ici, $u (x)$ est définie sur $ℝ$ car c'est un polynôme du second degré. $v (x)$ est définie sur $]0; + \infty[$ Donc $(v \circ u) (x)$ est définie si et seulement si $u (x)$ appartient à $]0; + \infty[$ .

Nous sommes donc amenés à résoudre l'inéquation $u (x) \geq 0$ .

$u (x) \geq 0 \Leftrightarrow x^{2} - 4 \geq 0 soit x \in D =]- \infty; - 2]\cup[2; + \infty[$ .

Pour tout x de D, on a $v \circ u (x) = v (u (x)) = \sqrt{u (x)} =$ $\sqrt{x^{2} - 4}$ .

$u \circ v (x)$ est définie si $x$ appartient à $ℝ^{+}$ et si $v (x)$ appartient à l'ensemble de définition de u, soit $ℝ$ . Ainsi $u \circ v$ est définie sur $ℝ^{+}$ . On a alors $u \circ v (x) = u (v (x)) = {(v (x))}^{2} - 4 = {(\sqrt{x})}^{2} - 4 =$ $x - 4$ .

On s'aperçoit que $v \circ u \neq u \circ v$ .

À noter

La composée de fonctions n'est pas commutative, c'est-à-dire, en général, $v \circ u \neq u \circ v$ .

2 Déterminer la dérivée d'une composée

Déterminer la dérivée de la fonction f définie par $f : x \mapsto \sqrt{x^{2} - 3 x + 5}$ .

Conseils

Écrivez f sous la forme $f = v \circ u .$ Cherchez ensuite l'ensemble $D_{f}$ sur lequel f est dérivable et appliquez la formule donnant la dérivée de $v \circ u$ .

Solution

$f (x)$ est définie si et seulement si $x^{2} - 3 x + 5 \geq 0$ . Le discriminant $Δ$ de $x^{2} - 3 x + 5$ est $Δ = - 11$ . $Δ 0$ donc $x^{2} - 3 x + 5$ est strictement positif, f est donc dérivable sur $ℝ$ .

On a $f = v \circ u$ avec $u (x) = x^{2} - 3 x + 5$ et $v (x) = \sqrt{x}$ .

Pour tout x réel, $f^{'} (x) = v^{'} (u (x)) \times u^{'} (x)$ . Ici, $u^{'} (x) = 2 x - 3$ et

$v^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ , d'où $f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{u (x)}} \times u^{'} (x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x^{2} - 3 x + 5}} \times (2 x - 3)$ .

Dérivée de la composée de deux fonctions

I Composée de deux fonctions

À noter

II Dérivée d'une composée de deux fonctions

À noter

Méthodes

1 Déterminer une composée de fonctions

Conseils

Solution

À noter

2 Déterminer la dérivée d'une composée

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