Fiche de révision

Dérivées de fonctions composées

Contenu


Sous certaines conditions, si l'on connaît les dérivées de deux fonctions, il est possible de déterminer celle de leur somme, de leur composée.

I Dérivée de x  g(ax b)

Théorème : Soit g une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction ↦ g(ax b) est dérivable sur I et a pour dérivée :

xa×gax+b

Exemple : Déterminer la dérivée de k : x   4x5.

k est définie si et seulement si 4x − 5 ≥ 0, soit x54, et est dérivable pour x>54. k est de la forme x ↦ g(ax + b) avec gX=X et axb = 4x − 5. On a donc kx=a×gax+b=4×124x5=24x5.

À noter

Pour calculer gax+b, on calcule gX et on remplace X par ax+b.

II Dérivée de x  eu(x)

Théorème : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, de dérivée u. La fonction x ↦ eu(x) est dérivable sur I et a pour dérivée :

xu(x)×eu(x)

Exemple : Déterminer la dérivée de f : x ↦ e3x  5.

La fonction f est dérivable sur ℝ comme composée de fonctions dérivables. f est de la forme eu, avec u(x) = 3x − 5, ux=3. Donc fx=3e3x5.

III Dérivée de x  2(x)

Théorème : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, de dérivée u. La fonction x ↦ u2(x) est dérivable sur I et a pour dérivée :

x2uxux

Exemple : Déterminer la dérivée de x ↦ (x2x − 1)2.

La fonction x ↦ x2x − 1 est dérivable sur ℝ car c'est un polynôme. La fonction f est donc dérivable sur ℝ. f est de la forme u2 avec u(x) = x2x − 1, ux=2x+1. Donc fx=22x+1x2+x1.

À noter

Cette formule se généralise à x ↦ un(x), avec les mêmes hypothèses, et cette fonction a pour dérivée xn uxun1x.

Méthode

Déterminer une fonction dérivée

Déterminer les dérivées des fonctions suivantes en précisant l'intervalle sur lequel ces fonctions sont dérivables :

a. x ↦ (x2 − 1)2

b. g:xx+1ex2+1

c. h:x13x

conseil

L'expression de chaque fonction vous indique sa forme : selon le cas, appliquez la formule adéquate du cours.

solution

a. La fonction x ↦ x2 − 1 est dérivable sur ℝ car c'est une fonction polynôme, donc la fonction f est dérivable sur ℝ.

f est de la forme u2 avec ux=x21 et ux=2x. Or u2=2uu, donc pour tout x réel, fx=22xx21=4x(x2  1).

b. Les fonctions x ↦ x + 1 et x ↦ ex2+1 sont dérivables sur ℝ donc g est dérivable sur ℝ par produit.

À noter

Nous avons ici à la fois une composée et un produit ! N'oubliez pas les règles générales de dérivation.

g est de la forme v × w avec v(x) = x + 1 et wx= ex2+1 ; on a alors v(x)=1 et il reste à déterminer la dérivée de w.

w est de la forme eu avec u(x) = x2 + 1 et ux=2x. Or eu=ueu donc wx=2xex2+1.

On en déduit que pour tout x de ℝ on a gx= 1ex2+1+x+12xex2+1=  ex2+1(1+2x2+2x).

c. La fonction x13x est dérivable sur ℝ et est positive si et seulement si 13x  03x  1x    13.

La fonction h est donc dérivable sur ]  ;  13[. h est de la forme g(ax+b) avec gx= x et ax b = − 3x + 1. On a donc hx =agax+b.

Or gx=12x, donc pour tout x ]  ;  13[,  h(x)=31213x.

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