Dériver des fonctions composées

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Fiches
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Compléments sur les fonctions
Corpus Corpus 1
Dériver des fonctions composées

FB_Bac_98617_MatT_S_013

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Rappels de cours

Les formules de dérivation usuelles sont rappelées dans le dépliant. (>dépliant,X)

1Dérivation des fonctions composées

Soit deux fonctions et dérivables. Le tableau ci-dessous montre les dérivées de fonctions construites à partir de ou de .

Le nombre est un rationnel, c’est-à-dire le quotient de deux entiers (appelé aussi fraction).





Remarques


1




On doit avoir .


2




Dans le cas où , il est nécessaire que .


3




et sont deux réels.

remarque peut s’écrire . On peut donc utiliser la formule 2 avec .

En résumé
La dérivée de est .

exemple Si et si ,
alors ,
c’est-à-dire .

2Dérivation des fonctions trigonométriques composées

 Si (du tableau ci-dessus) est la fonction sinus, alors :

 De même :

remarque Il y a des résultats analogues avec les fonctions logarithme et exponentielle. (>Fiches19et24)

Méthode

Calculer la dérivée d’une fonction composée

Soit la fonction définie par .

1. Déterminer l’ensemble de définition de .

2. Démontrer que est dérivable sur et calculer .

Conseils

1. La condition d’existence de est et .

2. Il suffit d’utiliser la formule de dérivation de en choisissant convenablement .

Solution

1. Le signe du quotient est donné par le tableau suivant.


On a .

2. Posons . Pour tout tel que , on sait que est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables.

Donc est dérivable sur .

remarque est fermé en 1 alors que est dérivable sur un intervalle ouvert en 1.

Par ailleurs, en dérivant le quotient, on trouve, pour tout  :

.

On a donc .

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