Dériver des fonctions exponentielles

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Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle
Corpus Corpus 1
Dériver des fonctions exponentielles

FB_Bac_98617_MatT_S_019

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Rappels de cours

1Dérivée élémentaire

 D’après sa définition, la fonction est dérivable sur et,

pour tout  :

 ou 

remarque Il faut se garder de considérer (le nombre de Néper, égal à 2,718 environ) comme une fonction : c’est une constante.

exemple Si , alors

 Pour montrer que (>fiche18), on utilise le nombre dérivé en 0 de la fonction exponentielle :

2Dérivée de fonctions composées d'exponentielles

Attention ! Bien que
toujours positive, n’est
pas toujours croissante.

 Soit une fonction dérivable sur un intervalle .

Alors la fonction est dérivable sur et, pour tout  :

et étant deux constantes réelles, si alors . (>fiche13)

3Des fautes à éviter

 La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même mais la dérivée de n’est pas et la dérivée de n’est pas .

 Seules les fonctions (où est une constante) ont pour dérivées elles-mêmes. De ce fait, si l’exposant de n’est pas , seulement et uniquement , il n’y a pas d’autre choix que d’utiliser la formule pour dériver, ou si possible.

exemple Si , alors . Ici, .

Méthode

Étudier la dérivabilité d’une fonction avec exponentielle

On considère la fonction définie sur par .

1. Calculer pour tout .

2. Examiner la dérivabilité de en en étudiant .

Conseils

1. Si , on repère un produit. Dans ce produit, on sera amené à utiliser la dérivée de .

2. En écrivant , on reconnaît le taux de variation de en qui permet de trancher sur la dérivabilité de en .

Solution

1. Pour tout , les fonctions composant sont dérivables.

On sait de plus que la dérivée de est .

Donc, en utilisant la dérivée d’un produit et de , on a :

.

2. Pour tout , .

Ici la limite en se confond avec la limite en , c’est-à-dire quand tend vers en étant positif.

Or

(quand l’exposant tend vers , l’exponentielle tend vers ).

Conclusion : Puisque ,

.

Par conséquent, est dérivable en et .

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