Dériver des fonctions logarithmes

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Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Corpus Corpus 1
Dériver des fonctions logarithmes

FB_Bac_98617_MatT_S_024

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Rappels de cours

1Dérivées élémentaires

La fonction logarithme népérien est une primitive de la fonction sur .

Donc est dérivable et, pour tout de , on a :

remarques

  • On peut aussi écrire .
  • Il faut différencier et , .

 ; c’est à rapprocher de la dérivée d’une fonction f dans le cas général.

est la dérivée d’une constante ; donc .

  • Pour montrer que (>fiche23), on utilise le nombre dérivé de ln en 1.

2Dérivées de fonctions composées de logarithmes

à noter ! La dérivée de  n’est pas .

 Soit une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle . La fonction est dérivable sur et pour tout de , .

 En particulier, et étant deux constantes réelles :

si alors, pour tout de ,

. (>fiche13)

Méthode

Déterminer la dérivabilité et la dérivée d’une fonction avec logarithme

Soit la fonction définie sur par .

1. Calculer pour tout .

2. Examiner la dérivabilité de en en étudiant .

3. Qu’en déduit-on sur la demi-tangente à en l’origine O ?

Conseils

1. Si , on repère un produit.

2.

On ne peut pas se servir de la formule de pour savoir si est dérivable en car cette formule n’est valable que si .

3. Le coefficient de la demi-tangente en O est le nombre dérivé à droite en 0, s’il existe.

Solution

rappel La dérivée de est .

1. Pour , les fonctions composant sont dérivables. On a donc : .

À noter ! Ici, la limite en se confond avec la limite en .

2. Pour tout , .

Or, on sait que .

Conclusion : 

admet une limite en 0.

Par conséquent, est dérivable en et .


3. La courbe représentant admet donc au point d’abscisse une demi-tangente de coefficient directeur (tangente horizontale). Il s’agit de l’axe des abscisses.

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