Dériver une fonction

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Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Notion de continuité sur un intervalle
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Dériver une fonction

FB_Bac_98616_MatT_LES_009

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Rappels de cours

1Fonction dérivée

? Soit une fonction définie sur un intervalle et .

On dit que est dérivable en si, et seulement si le taux d’accroissement a une limite finie quand tend vers .

Cette limite finie est appelée nombre dérivé de en .

? Si est dérivable pour tout réel de , alors on dit qu’elle est dérivable sur .

Si est dérivable sur , alors la fonction qui à tout de associe le nombre dérivé est appelée fonction dérivée de notée .

2Dérivées usuelles et continuité

? Le dépliant fournit les dérivées de fonctions usuelles et les opérations sur les dérivées (>dépliant).

? Il existe un lien entre dérivabilité et continuité?: si est dérivable sur un intervalle , alors est continue sur .

Méthode

Utiliser les formules de dérivation

On donne . Calculer .

Conseils

Les dérivées usuelles et les formules d’opération avec les dérivées doivent être connues parfaitement, de manière qu’aucune confusion ne soit possible.

Cet exemple utilise la formule du produit et celle du quotient.

Solution

s’écrit sous la forme d’un quotient dans lequel est un produit. On pose?:

et ,

et on obtient?: et .

En utilisant la formule de dérivation d’un quotient, on obtient?:

Factoriser une expression de

Factoriser la dérivée de la fonction définie sur par?:

Conseils

Le plus souvent, il est demandé d’étudier le signe de . Pour que cette étude de signes soit la plus simple, il est important de prendre soin auparavant de factoriser au mieux l’expression de .

Solution

Le lecteur n’ayant pas encore étudié la fonction peut continuer à étudier cette fiche en admettant que sa dérivée est la fonction inverse.

En appliquant les formules (>dépliant)?:

pour tout de , .

Tout d’abord, on met au même dénominateur?:

Pour étudier le signe du numérateur, on cherche à le factoriser, en utilisant la présence des constantes 2 et 50?:

.

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