Déterminer des équations paramétriques

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Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Vecteurs dans l'espace et produit scalaire
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Déterminer des équations paramétriques

FB_Bac_98617_MatT_S_050

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Rappels de cours

On se place dans un repère quelconque de l’espace.

1Caractérisation d’une droite de l’espace

On considère une droite passant par et dont un vecteur directeur est .

Il existe tel que

Ce sont les équations paramétriques de .

Le paramètre en question est le nombre . Pour écrire les équations paramétriques de deux droites, on utilisera et .

 Lorsqu’aucune coordonnée de n’est nulle, les équations paramétriques sont équivalentes à : .

2Caractérisation d’un plan

à noter ! Pour voir d’autres caractérisations

(>fiche52)

Soit un point et

et

deux vecteurs non colinéaires.

Soit le plan .

Donc :

Ce sont les équations paramétriques de .

attention ! et ne doivent pas être colinéaires.

 Les paramètres en question sont les nombres et .

Méthode

Trouver les coordonnées du point d’intersection d’un plan et d’une droite

On considère le plan dont une équation cartésienne est et la droite dont les équations paramétriques sont :

1. Déterminer un vecteur directeur et un point de .

2. Déterminer les coordonnées de l’intersection de et .

Conseil

2. Il y a deux types de représentation des objets : cartésienne et paramétrique. L’objectif est de trouver la valeur de qui donnera la solution. Si on ne trouve pas de valeur pour , cela signifie que est parallèle à .

Solution

1. On peut écrire les équations paramétriques ainsi : .

C’est pourquoi un vecteur directeur a pour coordonnées .

Le point appartient à .

2. si, et seulement si, il existe tel que :

Ce qui équivaut à , soit à .

En remplaçant par dans les équations paramétriques de , on obtient :

Ainsi perce en .

On vérifie de plus que , ce qui assure que .

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