Déterminer des primitives

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Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Intégration
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Déterminer des primitives

FB_Bac_98617_MatT_S_027

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Rappels de cours

1Relation entre primitive et dérivée

Soit une fonction continue sur un intervalle .

 Dire que est une primitive de sur signifie que est dérivable sur et que, pour tout , .

exemple est une primitive de sur .

 Si est une primitive de , alors toute fonction de la forme , où est une constante arbitraire, est aussi une primitive de .

remarque On parle d’une primitive de alors qu’on parle de la dérivée de . En effet, toute fonction continue sur admet une infinité de primitives (et une seule dérivée, quand celle-ci existe).

À noter ! On peut aussi écrire .

 Soit une fonction continue sur un intervalle , un nombre de et une constante. Il existe une et une seule primitive de sur prenant la valeur en . Autrement dit, il existe une et une seule primitive de sur telle que .

On écrit alors : .
(>fiche28)

exemple Pour tout , (>fiche22)

remarque Il faut bien différencier les bornes de l’intégrale , et la variable d’intégration .

2Trouver une primitive d’une fonction continue

Théorème Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.

 Pour trouver la primitive d’une fonction donnée, on utilise le tableau des dérivées (>dépliant,Xet fiche13) par lecture inverse, ou directement le tableau des primitives (>dépliant,IX).

 Soit et deux fonctions définies sur le même intervalle ,
et et deux nombres donnés.

Une primitive de est .

mise en garde Une primitive de n’est pas ;

celle de n’est pas !

 Pour vérifier qu’une fonction donnée est la primitive d’une fonction , on dérive et on vérifie que .

Méthode

Déterminer une primitive et une tangente à sa courbe

1. On considère la fonction définie sur par . Trouver une primitive de de la forme .

2. Trouver la primitive de qui prend la valeur 2 en .

3. Donner une équation de la tangente à la courbe représentant au point d’abscisse .

Conseils

1. On sait que et on utilise la dérivée d’un produit.

2. prend la valeur 2 en signifie que .

Solution

1. Pour tout ,

Puisque et ,

on aboutit par identification à et .

D’où , , et .

2. Toute primitive de s’écrit sous la forme est une constante arbitraire.

Par conséquent, .

3. On sait que . De plus, .

L’équation cherchée est donc ,

c’est-à-dire .

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