Déterminer des primitives de fonctions avec exponentielle

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Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle
Corpus Corpus 1
Déterminer des primitives de fonctions avec exponentielle

FB_Bac_98617_MatT_S_020

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Rappels de cours

1Primitives élémentaires

La fonction exponentielle est une primitive d’elle-même.

Autrement dit, elle vérifie l’équation dont l’inconnue est une fonction .

2Primitives de fonctions composées

Soit une fonction dérivable sur un intervalle .

 La fonction admet pour primitive la fonction .

remarques

  • Dans le cas particulier où ( et réels, ), une primitive de est .
  • Ne pas généraliser le cas particulier précédent :

une primitive de n’est pas en général.

 La fonction a une particularité : sa dérivée est en même temps une de ses primitives. De plus .

 Soit un polynôme.

Si , alors ,

est un polynôme de même degré que . Cette remarque peut être utile pour trouver . Il suffit d’utiliser l’égalité .

rappel

exemple Si ,

on peut écrire .

Alors : .

On obtient alors , et par identification avec  :

, et  ; soit , et .

Finalement .

Méthode

Déterminer la primitive vérifiant

Trouver la primitive de s’annulant en 1.

Conseils
  • Une primitive de est de la forme est un polynôme du troisième degré, qui est le degré de . En dérivant cette expression, on doit retrouver . On procédera donc par identification.
  • Pour trouver la primitive cherchée, il suffit de se rappeler que si est une primitive de , alors toute autre primitive est de la forme est une constante. La condition imposée conduit à .
Solution
  • Il existe , et réels tels que, pour tout de  :

.

Puisque , on a par identification :

 c’est-à-dire .

Toute primitive de est donc de la forme :

est une constante.

  • .

La primitive cherchée est donc .

remarque Soit et deux réels donnés. Il est toujours possible de trouver une primitive de prenant la valeur en , c’est-à-dire telle que . Il suffit pour cela de trouver la constante appropriée.

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