Déterminer et utiliser un nombre dérivé

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Fiches
Classe(s) : 1re S | Thème(s) : Dérivation
Corpus Corpus 1
Déterminer et utiliser un?nombre?dérivé

FB_Bac_99063_Mat1_S_006

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Rappels de cours

1 Définitions

Soient une fonction définie sur un intervalle ouvert et deux réels appartenant à

? Le taux d’accroissement de entre et est le rapport

? La fonction est dérivable en si, quand tend vers zéro, le taux d’accroissement de entre et se rapproche d’un unique réel. Ce réel est appelé nombre dérivé deen et est noté .

2 Tangente à une courbe

Soit une fonction définie sur un intervalle ouvert et dérivable en et sa courbe représentative dans un repère du plan.

? La tangente à la courbe au point d’abscisse est la droite qui passe par ce point et qui a pour coefficient directeur

? L’équation réduite de la tangente à la courbe au point d’abscisse est?: 

Méthodes

Calculer un nombre dérivé

Soit la fonction définie sur par

Justifier que est dérivable en et préciser

Conseils

Calculez le taux d’accroissement de entre et

Solution

Le taux d’accroissement de entre et est

Quand tend vers zéro, ce rapport se rapproche de

Ainsi, est dérivable en et

Lire graphiquement un nombre dérivé


 

Soit une fonction définie et dérivable sur dont la courbe représentative est représentée ci-contre dans le repère orthogonal ainsi que les tangentes aux points et

Préciser et calculer .

Conseils
  • Traduisez l’horizontalité de la tangente au point en termes de coefficient directeur pour préciser la valeur de
  • Lisez les coordonnées d’un point distinct de appartenant à la tangente au point . Déduisez-en le coefficient directeur de cette tangente et ainsi la valeur de
Solution
  • La tangente au point A d’abscisse 1 est horizontale. Son coefficient directeur est donc nul et, par suite,
  • La tangente au point B d’abscisse passe naturellement par le point qui a pour ordonnée et par le point de coordonnées que nous notons Le coefficient directeur de cette tangente est donc et, par suite,

Déterminer une équation d’une tangente

Soit la fonction définie sur par Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 4.

Conseils

Précisez la valeur de et calculez Concluez.

Solution

D’après la première méthode de cette fiche, est dérivable en et De plus, l’image de par est Une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse est donc , soit finalement

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