Déterminer l’espérance, la variance et l’écart-type d’une variable aléatoire

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Fiches
Classe(s) : 1re S | Thème(s) : Probabilités et échantillonnage
Corpus Corpus 1
Déterminer l’espérance, la variance et l’écart-type d’une?variable?aléatoire

FB_Bac_99063_Mat1_S_041

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Rappels de cours

Soit l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire.

1 Définitions

? Une variable aléatoire discrète définie sur est une fonction qui, à chaque issue de , associe un unique réel.

? Soit une variable aléatoire discrète définie sur et l’ensemble des valeurs prises par ( désignant un entier naturel non nul).

  • La loi de probabilité de la variable aléatoire est la fonction qui, à chaque valeur , associe la probabilité que prenne cette valeur?: Cette loi peut se représenter à l’aide d’un tableau?:
 

Valeur

Probabilité

 
  • L’espérance de la variable aléatoire , notée , est définie par?:

  • La variance de la variable aléatoire , notée , est définie par?:

  • L’écart-type de la variable aléatoire , noté , est défini par?:

2 Propriétés?: «?Transformation affine?»

Soient a, b des réels et Y la variable aléatoire définie par Y?=?aX?+?b.

? L’espérance de est donnée par?:

? La variance de est donnée par?:

? L’écart-type de est donné par?:

Méthodes

Déterminer une loi de probabilité

Soient deux dés cubiques (un rouge et un bleu) dont les faces sont numérotées?1, 1, 2, 2, 3 et 3. Notons et les variables aléatoires qui, à chaque lancer des deux dés, associent respectivement la somme et le produit des numéros obtenus sur les faces supérieures.

Déterminer les lois de probabilité de et .

Solution

 
  • Cette expérience aléatoire a 9?issues équiprobables?: (1?;?1), (1?;?2), (1?;?3), (2?;?1), (2?;?2), (2?;?3), (3?;?1), (3?;?2) et (3?;?3).
  • La variable aléatoire peut prendre les valeurs 2, 3, 4, 5 et 6.

La variable aléatoire peut prendre les valeurs 1, 2, 3, 4, 6 et 9.

  • prend la valeur 2 uniquement si l’issue (1?;?1) se réalise tandis que prend cette valeur si une des issues (1?;?2) ou (2?;?1) se réalise. Ainsi, et On obtient ainsi?:
 

Loi de probabilité de S

Valeur

2

3

4

5

6

Probabilité

 
 

Loi de probabilité de M

Valeur

1

2

3

4

6

9

Probabilité

 

Calculer et interpréter l’espérance et l’écart-type

Calculer l’espérance et l’écart-type des variables aléatoires et de la méthode précédente. Interpréter les résultats.

Solution

et .

De même,

Sur un grand nombre de lancers, nous pouvons espérer obtenir une somme moyenne et un produit moyen de 4 (). Comme > les résultats obtenus pour le produit peuvent s’avérer plus dispersés autour de 4 que ceux pour la somme.

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