En bref La recherche d'image ou d'antécédent par une fonction linéaire permet de résoudre des problèmes concrets. Il existe différentes méthodes permettant de trouver ces nombres.

IDéterminer l'expression d'une fonction linéaire

Une fonction linéaire a pour expression f(x) = ax. Pour déterminer la valeur du coefficient a, on divise l'image par son antécédent.

Exemple : On cherche la fonction linéaire f telle que f (4) = 20. Le coefficient a est égal à 20 ÷ 4 = 5. Le coefficient a est égal à 5, donc f(x) = 5x.

IIDéterminer une image ou un antécédent

1 À l'aide de l'expression de la fonction

Pour trouver l'image d'un nombre, on remplace x par ce nombre dans l'expres­sion f(x) = ax.

Exemple : On considère la fonction f définie par f(x) = −1,3x.

On a f (−5) = −1,3 × (−5) = 6,5.

L'image par f de −5 est 6,5.

Pour trouver l'antécédent d'un nombre k, on résout l'équation f(x) = k.

Exemple : On considère la fonction f définie par f(x) = 3x. On résout f(x) = − 4,5.

On obtient :

3x = − 4,5

x = − 4,5 ÷ 3

x = −1,5.

L'antécédent par f de − 4,5 est −1,5.

2 À l'aide de la représentation graphique de la fonction

Les images se lisent sur l'axe des ordonnées et les antécédents sur l'axe des abscisses.

Exemple :

On lit f (2) = 1 et f (4) = 2.

Méthode

Exploiter la représentation graphique d'une fonction linéaire

Dans le repère ci-­contre, on a tracé la représentation graphique d'une fonction f.

1 En utilisant le point A, montrer que $f\left(x\right)=\frac{3}{2}x$.

2 a. En laissant des traces graphiques, déterminer l'image de 4 par f.

b. Lire graphiquement l'antécédent de 9 par f.

Conseils

1 Divise l'ordonnée du point A par son abscisse pour trouver le coefficient a.

2 a. Repère le nombre 4 sur l'axe des abscisses et trace la droite verticale. Cette droite coupe la représentation graphique de la fonction f en un point. Trace la droite horizontale passant par ce point. Elle coupe l'axe des ordonnées. Conclus.

b. Repère le nombre 9 sur l'axe des ordonnées. Trace la droite horizontale. Cette droite coupe la représentation graphique de la fonction f en un point. Conclus en traçant la droite verticale passant par ce point.

Solution

1 L'image de 2 est 3.

On obtient $a=\frac{3}{2}$.

2 a. Le tracé vert montre que l'image de 4 est 6.

b. Le tracé rouge montre que l'antécédent de 9 est 6.