Déterminer la forme trigonométrique d’un nombre complexe

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Fiches
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Nombres complexes et applications
Corpus Corpus 1
Déterminer la forme trigonométrique d’un nombre complexe

FB_Bac_98617_MatT_S_044

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Rappels de cours

1Définitions


Soit d’image .

 On appelle argument de , et on note , une mesure de l’angle orienté à près.

à noter ! On a
et .

Donc et ,

étant le module de .

D’où .

 La forme est la forme trigonométrique de .

2Propriétés

Soit et deux nombres complexes non nuls et .

On a, à près :

rappel L’inégalité triangulaire s’écrit .

3Applications

1. Si et alors, après réduction :

Or

car

Donc, en égalant parties réelles et imaginaires :

2. Soit un nombre complexe non nul et un entier relatif :

Méthode

Déterminer les formes algébrique et trigonométrique d’un nombre complexe

On considère et son conjugué.

1. Donner la forme trigonométrique de et .

2. En déduire les formes algébriques de et .

Conseils

1. Factorisez par le module pour arriver directement à la forme trigonométrique.

2. Pour traiter , utilisez les formules  et .

Solution

1.

Donc .

Comme , on trouve .

2. Un calcul immédiat fournit ,

donc .

Par conséquent :

Donc

et .

Conclusion : .

On en déduit que .

>>