Déterminer la limite d’une fonction par comparaison

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Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Compléments sur les fonctions
Corpus Corpus 1
Déterminer la limite d’une fonction par comparaison

FB_Bac_98617_MatT_S_008

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Rappels de cours

Dans la suite, désigne un nombre réel ou ou .

1Signe de la limite

Si une fonction est positive au voisinage de , alors sa limite quand tend vers est aussi positive.

conséquence Si, au voisinage de , on a alors, si les limites existent et sont finies : .

Démonstration : On utilise ce qui précède avec la fonction qui est positive.

Donc .

remarque Si (constante), alors :

.

2Théorème des gendarmes

 Trois fonctions f, g, h vérifient

au voisinage de .

Si (), alors .

remarque Les fonctions et sont les deux gendarmes qui contraignent à adopter le même comportement qu’elles.

 On utilise le théorème précédent dans le cas particulier suivant :

Si et si , alors .

3Théorème de comparaison

Deux fonctions et vérifient, au voisinage de ,

1.

2.

Méthode

Déterminer la limite d’une fonction en l’encadrant

1. Montrer que a une limite finie quand tend vers 0.

2. On considère la fonction définie par .

A-t-elle une limite quand tend vers  ? vers  ?

Conseils

1. Encadrez et utilisez le théorème des gendarmes.

2. Il suffit de minorer et majorer la fonction .

Solution

1. Pour tout , on a :

Comme , d’après le théorème des gendarmes.

2. On sait que pour tout .

C’est pourquoi .

Puisque ,

le théorème de comparaison prouve que .

De même,

d’où

La figure ci-contre montre la fonction ainsi que les deux gendarmes en pointillés.

remarques

  • L’étude précédente montre que si, quand tend vers , une fonction (ici ) a une limite et (ici ) n’en a pas, il est possible que en ait une.
  • On montrerait de même que :

et .

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