Déterminer la limite d’une suite

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Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
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Déterminer la limite d’une suite

FB_Bac_98617_MatT_S_002

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Rappels de cours

1Suites convergentes

Dire que tend vers le nombre quand tend vers signifie que tout intervalle ouvert contenant contient toutes les valeurs à partir d’un certain rang . On dit alors que la suite converge (ou est convergente) (>rabats, I). On écrit .

La limite d’une suite se conçoit toujours quand tend vers .

2Suites divergentes

 Une suite divergente est une suite non convergente.

Il y a deux types de suites divergentes : celles qui tendent vers l’infini et celles qui n’ont pas de limite, comme .

 Dire que tend vers quand tend vers signifie que tout intervalle de la forme (où est un nombre positif quelconque) contient toutes les valeurs à partir d’un certain rang .

On écrit. Donc, pour tout , on a : .

remarque si et seulement si .

3Conséquences et propriétés

 La limite d’une suite, lorsqu’elle existe, est unique.

 Si une suite est positive et convergente, alors sa limite est positive.

 Si une suite est croissante et converge vers un nombre , alors à partir d’un certain rang .

 Si on a à partir d’un certain rang et si alors .

4Limites des suites géométriques de la forme

Soit un nombre réel différent de 0 et de 1. La suite géométrique  :

  • converge vers 0 si et seulement si .
  • diverge vers si et seulement si .
  • n’a pas de limite si et seulement si .

Méthode

Utiliser la limite d’une suite pour déterminer un rang

Montrer qu’il existe un entier naturel tel que, pour tout , et en donner une valeur.

Conseils
  • Pour justifier l’existence de , on utilise la convergence de la suite .
  • Pour trouver une valeur de , utilisez la fonction logarithme.
Solution
  • Puisque l’on a , alors .

L’intervalle ouvert contient 0. Par conséquent, tous les termes de la suite appartiennent à cet intervalle à partir d’un certain rang . C’est pourquoi on a, pour tout ,

 et donc .

  • Pour , on a ,

attention !

Puisque , on trouve ().

En conséquence, on peut choisir et donc, pour tout , on a .

remarque On aurait pu programmer la fonction à la calculatrice et, avec la table des valeurs, constater que et puis conclure.

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